Геометрические задачи

Приложения определенных интегралов

А. Вычисление площадей

а ) Вычисление площадей в прямоугольной системе координат.

Напомним геометрический смысл определенного интеграла — при определенных условиях он задает площадь криволинейной трапеции. Это позволяет находить площадь любой фигуры.

Точками А и В граница плоской фигуры D разбита на две части. Если известны уравнения “верхней” (дуга АМВ) и “нижней”(дуга ANB) границ:

АМВ: y = j₂ (x) .

ANB: y = j₁ (x),

то площадь фигуры D можно найти как разность площадей, условно говоря, “большой “ и “малой” криволинейных трапеций:

S_D = S_aAMBb — S_aANBb =

Очевидно, что формула останется справедливой для любого расположения области D (выше или ниже оси Ох). Например, если часть области D находится ниже оси Ох, то ее (область) можно перенести вверх на некоторое расстояние С таким образом, чтобы D оказалась целиком выше оси Ох. Величина площади от этого не изменится:

Пример. Найти площадь сегмента параболы, т.е. фигуры, ограниченной дугой параболы x = y² и отрезком прямой х = а.

Решение. (ед²).

б) Вычисление площадей в параметрической форме.

Если уравнение верхней границы криволинейной трапеции задано в параметрической форме: причем a £ t £ b . j (a) = a . j (b) = b,

то, сделав замену переменной, получим:

{замена .

Пример. Найти площадь эллипса с полуосями а и b.

В прямоугольной системе координат уравнение эллипса имеет вид:

Используя симметрию фигуры, найдем площадь четверти эллипса:

Используя параметрические уравнения эллипса в первой четверти:

и учитывая, что при х = 0, t = . при х = а, t = 0, получим:

Тогда площадь эллипса будет: S = p ab.

в) Вычисление площадей в полярной системе координат.

Напомним, что площадь кругового сектора равна:

S _{кр.с. =}

где a — центральный угол (в радианах),

R — радиус.

Рассмотрим криволинейный сектор, ограниченный лучами

j = a . j = b . и кривой r = f (j) (b &gt . a).

Разобьем криволинейный сектор лучами, выходящими из полюса под углами j₁ = a . j₂,…., j_n = b, на n частей.

Обозначим Dj _i = j _i — j _i-1 и найдем площадь i — того (малого) криволинейного сектора, приближенно считая его круговым:

где — промежуточное значение угла между j _i-1 и j _i .

Тогда площадь всего кругового сектора будет равна:

переходя к пределу при , получим:

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линией

(a² + y²)² = a²(x² — y²), называемой лемнискатой Бернулли (a &gt . 0).

Т.к. переменные x, y входят в уравнение только в четных степенях, то фигура симметрична как относительно обеих осей координат, так и относительно начала координат. Перейдем к полярным координатам:

Подставив в уравнение линии, получим:

или

Построим линию, учитывая симметрию фигуры и условие r ³ 0.

Площадь всей фигуры равна учетверенной площади заштрихованной части:

Б. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН дуг кривЫХ

Если уравнение линии задано в прямоугольной системе координат:

y = f (x), причем f (x) и f¢ (x) непрерывны на отрезке [a . b], то длиной такой криволинейной дуги называется предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломаной при неограниченном увеличении числа ее сторон и при стремлении наибольшей из этих сторон к нулю.

Если участок Dх_i достаточно мал, то:

Сложив все “элементарные дуги” и перейдя к пределу, получим:

Dy_i = f(x_i) — f(x_i-1) = {по формуле Лагранжа} = f¢(C_i) Dx_i,

где С_i — промежуточное значение между x_i-1 и x_i.

Тогда:

Если кривая задана в параметрической форме:

причем x(t), x¢(t), y(t), y¢(t) непрерывны на отрезке [a . b], то аналогичные рассуждения приведут нас к следующему результату:

Если кривая задана в полярной системе координат:

r = r(j), a £ j £ b, то получим:

В. Вычисление объемов

Пусть дано тело, площадь каждого сечения которого плоскостью, перпендикулярной оси Ох, известно. Назовем эти сечения поперечными. Положение поперечного сечения зависит от абсциссы точки пересечения его с осью Ох.

Площадь сечения является некоторой функцией x: S = S(x), где x Î [a .b].

Для вычисления объема тела применим общий метод.

1. Разобьем отрезок [a . b] на n произвольных непересекающихся частей точками: х₀ = а, х₁, х₂,…, x_n-1, x_n = b.

Через точки деления проведем плоскости, перпендикулярные оси Ох. Тело разобьется на n слоев.

2. Обозначим объем слоя тела, соответствующий отрезку [x_i-1 . x_i], через DV_i, —

тогда

3. Вычислим объем i-го слоя. Для этого внутри [x_i-1 . x_i] выберем точку С_i.

Вычислим S(C_i). Будем считать, что объем i- го слоя приближенно равен объему цилиндра, площадь основания которого равна S(C_i) и высота которого равна длине отрезка [x_i-1 . x_i], т.е. Dx_i: DV_i» S(C_i)Dx_i.

4. Объем всего тела:

5. Переходя к пределу при l ® 0, где получим:

Объем тела вращения.

Пусть тело получается вращением трапеции, ограниченной линией

y = f(x), x Î [a .b], вокруг оси Ох, т.о. поперечным сечением служит круг, радиус которого равен соответствующей ординате кривой y = f(x).

(Если y &lt . 0, то радиус будет равен ).

Площадь поперечного сечения S(x) = pR² = p[f(x)]², и мы приходим к формуле для объема тела вращения:

Замечание. Если требуется найти объем тела, образованного вращением трапеции, ограниченной линией x = f(y), y Î [c .d], вокруг оси Oy, то получим:

Итак, с помощью определённого интеграла можно вычислить площади, длины дуг кривых и объёма тел.

2. Решение простейших физических задач

Мы уже говорили, что, если f (x) есть величина переменной силы, то

выражает работу переменной силы по перемещению материальной точки вдоль прямолинейного пути.

Пример. По двум прямолинейным длинным параллельным проводникам, находящимся на расстоянии r₁ друг от друга, текут в одном направлении токи J₁ и J₂.

Какую работу (на единицу длины проводника) необходимо совершить, чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния r₂?

Решение.

По закону Био-Савара-Лапласа

где r — расстояние между токами.

По закону Ампера

Тогда получим:

Рассмотрим еще некоторые случаи применения определенных интегралов.

В механике материальную плоскую фигуру принято называть пластинкой.

Пусть дана пластинка в форме криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y = f(x), отрезком [a . b] оси Ох и прямыми x = a, x = b.

Пусть на этой пластинке масса распределена равномерно. Тогда, проводя аналогичные рассуждения, получим формулы для определения центра тяжести:

Статические моменты J_x и J_y плоской пластинки относительно осей координат вычисляются по формулам:

Таким образом, используя определённый интеграл можно решать физические задачи.