X-PDF

Геометрические задачи

Поделиться статьей

Приложения определенных интегралов

А. Вычисление площадей

а ) Вычисление площадей в прямоугольной системе координат.

Напомним геометрический смысл определенного интеграла — при определенных условиях он задает площадь криволинейной трапеции. Это позволяет находить площадь любой фигуры.

Точками А и В граница плоской фигуры D разбита на две части. Если известны уравнения “верхней” (дуга АМВ) и “нижней”(дуга ANB) границ:

АМВ: y = j2 (x) .

ANB: y = j1 (x),

то площадь фигуры D можно найти как разность площадей, условно говоря, “большой “ и “малой” криволинейных трапеций:

SD = SaAMBb — SaANBb =

Очевидно, что формула останется справедливой для любого расположения области D (выше или ниже оси Ох). Например, если часть области D находится ниже оси Ох, то ее (область) можно перенести вверх на некоторое расстояние С таким образом, чтобы D оказалась целиком выше оси Ох. Величина площади от этого не изменится:

Пример. Найти площадь сегмента параболы, т.е. фигуры, ограниченной дугой параболы x = y2 и отрезком прямой х = а.

Решение. (ед2).

б) Вычисление площадей в параметрической форме.

Если уравнение верхней границы криволинейной трапеции задано в параметрической форме: причем a £ t £ b . j (a) = a . j (b) = b,

то, сделав замену переменной, получим:

{замена .

Пример. Найти площадь эллипса с полуосями а и b.

В прямоугольной системе координат уравнение эллипса имеет вид:

Используя симметрию фигуры, найдем площадь четверти эллипса:

Используя параметрические уравнения эллипса в первой четверти:

и учитывая, что при х = 0, t = . при х = а, t = 0, получим:

Тогда площадь эллипса будет: S = p ab.

в) Вычисление площадей в полярной системе координат.

Напомним, что площадь кругового сектора равна:

S кр.с. =

где a — центральный угол (в радианах),

R — радиус.

Рассмотрим криволинейный сектор, ограниченный лучами

j = a . j = b . и кривой r = f (j) (b &gt . a).

Разобьем криволинейный сектор лучами, выходящими из полюса под углами j1 = a . j2,…., jn = b, на n частей.

Обозначим Dj i = j i — j i-1 и найдем площадь i — того (малого) криволинейного сектора, приближенно считая его круговым:

где — промежуточное значение угла между j i-1 и j i .

Тогда площадь всего кругового сектора будет равна:

переходя к пределу при , получим:

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линией

(a2 + y2)2 = a2(x2 — y2), называемой лемнискатой Бернулли (a &gt . 0).

Т.к. переменные x, y входят в уравнение только в четных степенях, то фигура симметрична как относительно обеих осей координат, так и относительно начала координат. Перейдем к полярным координатам:

Подставив в уравнение линии, получим:

или

Построим линию, учитывая симметрию фигуры и условие r ³ 0.

Площадь всей фигуры равна учетверенной площади заштрихованной части:

Б. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН дуг кривЫХ

Если уравнение линии задано в прямоугольной системе координат:

Представленная информация была полезной?
ДА
58.95%
НЕТ
41.05%
Проголосовало: 782

y = f (x), причем f (x) и f¢ (x) непрерывны на отрезке [a . b], то длиной такой криволинейной дуги называется предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломаной при неограниченном увеличении числа ее сторон и при стремлении наибольшей из этих сторон к нулю.

Если участок Dхi достаточно мал, то:

Сложив все “элементарные дуги” и перейдя к пределу, получим:

Dyi = f(xi) — f(xi-1) = {по формуле Лагранжа} = f¢(Ci) Dxi,

где Сi — промежуточное значение между xi-1 и xi.

Тогда:

Если кривая задана в параметрической форме:

причем x(t), x¢(t), y(t), y¢(t) непрерывны на отрезке [a . b], то аналогичные рассуждения приведут нас к следующему результату:

Если кривая задана в полярной системе координат:

r = r(j), a £ j £ b, то получим:

В. Вычисление объемов

Пусть дано тело, площадь каждого сечения которого плоскостью, перпендикулярной оси Ох, известно. Назовем эти сечения поперечными. Положение поперечного сечения зависит от абсциссы точки пересечения его с осью Ох.

Площадь сечения является некоторой функцией x: S = S(x), где x Î [a .b].

Для вычисления объема тела применим общий метод.

1. Разобьем отрезок [a . b] на n произвольных непересекающихся частей точками: х0 = а, х1, х2,…, xn-1, xn = b.

Через точки деления проведем плоскости, перпендикулярные оси Ох. Тело разобьется на n слоев.

2. Обозначим объем слоя тела, соответствующий отрезку [xi-1 . xi], через DVi, —

тогда

3. Вычислим объем i-го слоя. Для этого внутри [xi-1 . xi] выберем точку Сi.

Вычислим S(Ci). Будем считать, что объем i- го слоя приближенно равен объему цилиндра, площадь основания которого равна S(Ci) и высота которого равна длине отрезка [xi-1 . xi], т.е. Dxi: DVi» S(Ci)Dxi.

4. Объем всего тела:

5. Переходя к пределу при l ® 0, где получим:

Объем тела вращения.

Пусть тело получается вращением трапеции, ограниченной линией

y = f(x), x Î [a .b], вокруг оси Ох, т.о. поперечным сечением служит круг, радиус которого равен соответствующей ординате кривой y = f(x).

(Если y &lt . 0, то радиус будет равен ).

Площадь поперечного сечения S(x) = pR2 = p[f(x)]2, и мы приходим к формуле для объема тела вращения:

Замечание. Если требуется найти объем тела, образованного вращением трапеции, ограниченной линией x = f(y), y Î [c .d], вокруг оси Oy, то получим:

Итак, с помощью определённого интеграла можно вычислить площади, длины дуг кривых и объёма тел.

2. Решение простейших физических задач

Мы уже говорили, что, если f (x) есть величина переменной силы, то

выражает работу переменной силы по перемещению материальной точки вдоль прямолинейного пути.

Пример. По двум прямолинейным длинным параллельным проводникам, находящимся на расстоянии r1 друг от друга, текут в одном направлении токи J1 и J2.

Какую работу (на единицу длины проводника) необходимо совершить, чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния r2?

Решение.

По закону Био-Савара-Лапласа

где r — расстояние между токами.

По закону Ампера

Тогда получим:

Рассмотрим еще некоторые случаи применения определенных интегралов.

В механике материальную плоскую фигуру принято называть пластинкой.

Пусть дана пластинка в форме криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y = f(x), отрезком [a . b] оси Ох и прямыми x = a, x = b.

Пусть на этой пластинке масса распределена равномерно. Тогда, проводя аналогичные рассуждения, получим формулы для определения центра тяжести:

Статические моменты Jx и Jy плоской пластинки относительно осей координат вычисляются по формулам:

Таким образом, используя определённый интеграл можно решать физические задачи.


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.95%
НЕТ
41.05%
Проголосовало: 782

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет