X-PDF

Характеристическое уравнение матрицы

Поделиться статьей

Рассмотрим, как найти координаты собственных векторов оператора A, заданного своей матрицей А в некотором базисе е l, е 2,…, е n пространства R n.

Пусть вектор x = (x 1, x 2,…, xn) является собственным вектором оператора A, соответствующим собственному значению l. Тогда соотношение (12.1) в матричной форме перепишется в виде

(А) x = 0,

где Е – единичная матрица. Если

А

матрица оператора A, то последнее равенство соответствует однородной системе n уравнений

(12.2)

относительно n неизвестных x 1, x 2,…, xn – координат собственного вектора x. Нас интересуют только нетривиальные решения этой системы, т. к. вектор x должен быть отличен от нулевого. Это возможно тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы (12.2) меньше числа неизвестных, что равносильно равенству нулю определителя матрицы этой системы, т. е.

| А | = 0. (12.3)

Определение 12.4. Равенство (12.3) называется характеристическим урав-нением матрицы А. Оно выражает условие, которому должны удовлетворять все собственные значения матрицы А. Левая часть характеристического уравнения (12.3) представляет собой многочлен степени n, называемый характеристическим многочленом матрицы А. Всякому его корню l 0 отвечает собственный вектор, координаты которого определяются из системы (12.2) после подстановки в нее вместо l величины l 0.

Приведем примеры нахождения собственных векторов и соответствующих им собственных значений для некоторых операторов.

Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

.

Решение. Составим характеристическое уравнение матрицы А и найдем его корни:

Представленная информация была полезной?
ДА
58.67%
НЕТ
41.33%
Проголосовало: 963

При l 1 = 1, согласно (12.2), получаем систему уравнений

Из первых двух уравнений находим, что x 1 = – x 3 и x 2 = x 1 + x 3 = x 3. Таким образом, значению l 1 соответствует собственный вектор (– x 3, x 3, x 3) = x 3(–1, 1, 1), где x 3 – произвольное ненулевое действительное число. В частности, при x 3 = 1 получим собственный вектор x 1 = (–1, 1, 1).

Аналогично, для l 2 = – 2 имеем

Из первых двух уравнений находим, что x 3 = –14 x 2, x 1 = 11 x 2, x 2 Î R, x 2 ¹ 0. Таким образом, получаем собственный вектор вида x 2(11, 1, –14) || (11, 1, –14) = x 2.

Аналогично, для l 3 = 3 имеем

Отсюда x 1 = x 3, x 1 = x 2, или (x 1, x 2, x 3) = (x 1, x 1, x 1), x 1 Î R, x 1 ¹ 0. То есть можно считать, что собственный вектор (x 1, x 1, x 1) || (1, 1, 1) = x 3.

Таким образом, у данной матрицы А собственные значения l 1 = 1, l 2 = – 2 и l 3 = 3, а соответствующие им нормированные собственные векторы имеют вид

v 1= = . v 2= = . v 3= =


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.67%
НЕТ
41.33%
Проголосовало: 963

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет