X-PDF

Интерполяция кубическими сплайнами

Поделиться статьей

Недостатки кусочно-линейной и полиномиальной интерполяции привели к разработке теории сплайн-функции (от английского слова spline — линейка, рейка). Это связано с тем, что в инженерной практике часто приходится проводить гладкие кривые, используя упругую металлическую линейку, закрепленную в узловых точках.

Рассмотрим наиболее распространенный вариант сплайн-интерполяции — интерполяцию кубическими сплайнами [5].

Установлено, что упругая недеформируемая линейка проходит между соседними узлами по линии, удовлетворяющей уравнению

. (6.8)

Очевидно, если в качестве функции выбрать полином, то его степень должна быть не выше третьей, так как для полинома третьей степени четвертая производная тождественно равна нулю. Этот полином называют кубическим сплайном, который на интервале [xi-1,xi] записывается в виде

, (6.9)

где ai,bi,ci,di — коэффициенты сплайна, определяемые из дополнительных условий . i = 1,2,3,….n — номер сплайна.

Всего сплайнов на один меньше, чем точек интерполяции. Интерполяцию сплайнами можно назвать кусочно-полиномиальной.

Коэффициенты сплайнов определяются из следующих условий сшивания соседних сплайнов в узловых точках.

1. Равенство значений сплайнов и функции f(x) в узловых точках — условия Лагранжа:

, . (6.10)

2. Непрерывность первой и второй производных от сплайнов в узлах:

, . (6.11)

Кроме перечисленных условий, следует добавить условия на концах, т. е. в точках x0 и xn. В общем случае эти условия зависят от конкретной задачи. Мы воспользуемся условиями свободных концов сплайнов, т.е. вне интервала [x0,xn] функция описывается полиномом первой степени — прямой линией:

Представленная информация была полезной?
ДА
58.95%
НЕТ
41.05%
Проголосовало: 782

, . (6.12)

Условия (6.10)-(6.12) позволяют найти коэффициенты ai,bi,ci,di всех n сплайнов. Их значения выражаются следующими формулами:

, (6.13)

где в первых трех уравнениях i = 1,2,…n, а в третьем i = 2,3,..n .

hi=xi-xi-1 — i -й шаг аргумента.

Учитывая индексацию для сi, добавим значения этого коэффициента на концах сплайна

и . (6.14)

Сначала решается система из n — 1 линейных уравнений для сi. Затем определяются bi и di по известным коэффициентам сi, аi известно — это значения функции f(x) в узловых точках. В каждое уравнение для определения сi входит только три неизвестных с последовательными значениями индексов ci1,ci,ci+1. Такая матрица, имеющая отличные от нуля только элементы главной и двух соседних диагоналей, называется трехдиагональной.

Программная реализация рассмотренного алгоритма приведена ниже (ПРОГРАММА 6.2). Приведен фрагмент, в котором рассчитываются коэффициенты сплайнов по узловым значениям интерполируемой функции.

Для формирования трехдиагональной матрицы Kc использован массив шагов аргумента hi. В процедуре Gauss рассчитывается вспомогательный массив cv, имеющий на 2 элемента меньше, чем массив с., так как с0 и cn+1 известны и равны нулю. При большом числе уравнений для решения систем с трехдиагональной матрицей применяют метод прогонки [6], являющийся вариантом метода последовательных исключений. Результаты расчетов с использованием интерполяции сплайнами приведены на рис.6.4. В качестве интерполируемой функции был взят ток катушки электромагнита.


Как видно на рис.6.4, интерполяция кубическими сплайнами дает очень хорошее приближение в случае, если функция гладкая. В окружности на рисунке обозначен участок, где погрешность сплайна велика. Это связано с тем, что на этом участке происходит излом кривой тока, связанный с изменением сопротивления диода RD c прямого Rпр на обратное Rобр. При этом первая производная тока делает скачок, а сплайны по определению имеют равные первые производные справа и слева от узловой точки.

Как отмечалось ранее, интерполяция есть частный случай аппроксимации, критерием которой являются условия Лагранжа. Рассмотрим другой критерий аппроксимации — минимизацию среднеквадратичного отклонения приближающей функции от аппроксимируемой f(x).


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.95%
НЕТ
41.05%
Проголосовало: 782

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет