X-PDF

Исследование знака корней квадратного уравнения

Поделиться статьей

Рассмотрим такую задачу. Дано квадратное уравнение с параметром, нужно провести полное исследование знаков корней уравнения в зависимости от значений параметра. Здесь применяются два подхода: решение уравнения и использование формул Виета. Если дискриминант уравнения является полным квадратом, а старший коэффициент не зависит от параметра, то проще решить уравнение и исследовать знаки корней непосредственно.

1. Определить знаки корней уравнения в зависимости от параметра. Решение. Найдем дискриминант . Поскольку дискриминант является полным квадратом, то несложно решить это уравнение: Оба корня положительны, если . Оба корня отрицательны, если . Проверяем остальные промежутки: при , при , т. е. корни имеют разные знаки. В оставшихся точках, при , корни вычисляем: один корень равен нулю, а второй отрицательный. Нужно еще отметить, когда корни совпадают: , при этом кратный корень равен . Задача решена, но полезно рассмотреть геометрическую иллюстрацию. Изобразим на плоскости AОX прямые и (рис. 1). Всю информацию о знаках корней при различных значениях мы можем прочитать по чертежу: для данного значения мысленно проведем вертикальную прямую и отметим точки пересечения с прямыми и , их ординаты и являются корнями уравнения. По чертежу хорошо видно, что при и при один корень отрицательный, а другой положительный, при и при — один отрицательный, а другой равен нулю, при два различных отрицательных корня, а при — кратный отрицательный корень. Ответ: при и при корни разных знаков, при и при один корень отрицательный, а другой равен нулю, при два различных отрицательных корня, при кратный отрицательный корень.

Если же корни уравнения — иррациональные выражения, то непосредственное исследование их знака будет слишком громоздким. Поэтому исследование проводят с помощью формул Виета. Приведем схему такого исследования.

1) Если старший коэффициент зависит от параметра, то находим, при каких значениях параметра он равен нулю. Подставляем эти значения в уравнение и решаем полученное линейное уравнение. Определяем знак его корня.

2) Находим дискриминант уравнения и решаем неравенство . Таким образом, выясняем, при каких значениях параметра корней нет.

3) Рассмотрим значения параметра, при которых , т. е. корни совпадают. Нужно их найти и определить знак.

4) Рассмотрим значения параметра, при которых . Оба корня положительны тогда и только тогда, когда их сумма и произведение положительны. Оба корня отрицательны тогда и только тогда, когда их сумма отрицательна, а произведение положительно. Корни имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно. Используя формулы Виета, составляем и решаем соответствующие системы.

Представленная информация была полезной?
ДА
58.6%
НЕТ
41.4%
Проголосовало: 988

5) Отдельно надо разобрать случай, когда один из корней равен нулю. Для этого подставляем в уравнение, находим значение параметра и второй корень.

Чаще в задачах нужна только часть такого исследования.

2. При каких значениях параметра уравнение имеет два различных положительных корня? Решение. Оба корня положительны тогда и только тогда, когда их сумма и произведение положительны. Чтобы корни существовали и были различны, потребуем, чтобы дискриминант был положителен. Получим систему . Ответ: .

3. При каких значениях уравнение не имеет положительных корней? Решение. При получаем , положительных корней нет. Найдем дискриминант уравнения . Значит, при уравнение не имеет никаких корней. Чтобы оба корня были отрицательны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия: сумма корней , а произведение корней . Составим систему . Если один корень равен 0, то и других корней нет. Значит, нужно объединить промежутки , где нет никаких корней, промежуток , где оба корня отрицательны, и точку 0, где один нулевой корень. Ответ: .

4. Определить знак корней квадратного уравнения . Решение. 1) Рассмотрим случай . В этом случае получаем линейное уравнение , т. е. в этом случае имеется один положительный корень. 2) Пусть . Так как , то при корней нет. 3) При , получаем уравнение с отрицательным корнем и уравнение с положительным корнем . 4) Пусть . Оба корня положительны, если . Оба корня отрицательны, если выполняются условия . Корни разных знаков, если . 6) Пусть один корень равен нулю. Подставляя в уравнение, получаем . Само уравнение приобретает вид . Значит, второй корень отрицательный. Ответ: при корней нет, при отрицательные корни, при один корень отрицательный, второй равен нулю, при корни разных знаков, при корни положительны.


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.6%
НЕТ
41.4%
Проголосовало: 988

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет