Рассмотрим такую задачу. Дано квадратное уравнение с параметром, нужно провести полное исследование знаков корней уравнения в зависимости от значений параметра. Здесь применяются два подхода: решение уравнения и использование формул Виета. Если дискриминант уравнения является полным квадратом, а старший коэффициент не зависит от параметра, то проще решить уравнение и исследовать знаки корней непосредственно.
1. Определить знаки корней уравнения 
в зависимости от параметра. Решение. Найдем дискриминант 
. Поскольку дискриминант является полным квадратом, то несложно решить это уравнение: 
Оба корня положительны, если 
. Оба корня отрицательны, если 
. Проверяем остальные промежутки: при 
, при 
, т. е. корни имеют разные знаки. В оставшихся точках, при 
, 
корни вычисляем: один корень равен нулю, а второй отрицательный. Нужно еще отметить, когда корни совпадают: 
, при этом кратный корень равен 
. Задача решена, но полезно рассмотреть геометрическую иллюстрацию. Изобразим на плоскости AОX прямые 
и 
(рис. 1). Всю информацию о знаках корней при различных значениях 
мы можем прочитать по чертежу: для данного значения 
мысленно проведем вертикальную прямую и отметим точки пересечения с прямыми 
и 
, их ординаты и являются корнями уравнения. По чертежу хорошо видно, что при 
и при 
один корень отрицательный, а другой положительный, при 
и при 
— один отрицательный, а другой равен нулю, при 
два различных отрицательных корня, а при 
— кратный отрицательный корень. Ответ: при 
и при 
корни разных знаков, при 
и при 
один корень отрицательный, а другой равен нулю, при 
два различных отрицательных корня, при 
кратный отрицательный корень.
Если же корни уравнения — иррациональные выражения, то непосредственное исследование их знака будет слишком громоздким. Поэтому исследование проводят с помощью формул Виета. Приведем схему такого исследования.
1) Если старший коэффициент зависит от параметра, то находим, при каких значениях параметра он равен нулю. Подставляем эти значения в уравнение и решаем полученное линейное уравнение. Определяем знак его корня.
2) Находим дискриминант уравнения и решаем неравенство 
. Таким образом, выясняем, при каких значениях параметра корней нет.
3) Рассмотрим значения параметра, при которых 
, т. е. корни совпадают. Нужно их найти и определить знак.
4) Рассмотрим значения параметра, при которых 
. Оба корня положительны тогда и только тогда, когда их сумма и произведение положительны. Оба корня отрицательны тогда и только тогда, когда их сумма отрицательна, а произведение положительно. Корни имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно. Используя формулы Виета, составляем и решаем соответствующие системы.
5) Отдельно надо разобрать случай, когда один из корней равен нулю. Для этого подставляем 
в уравнение, находим значение параметра и второй корень.
Чаще в задачах нужна только часть такого исследования.
2. При каких значениях параметра 
уравнение 
имеет два различных положительных корня? Решение. Оба корня положительны тогда и только тогда, когда их сумма и произведение положительны. Чтобы корни существовали и были различны, потребуем, чтобы дискриминант был положителен. Получим систему 
. Ответ: 
.
3. При каких значениях 
уравнение 
не имеет положительных корней? Решение. При 
получаем 
, положительных корней нет. Найдем дискриминант уравнения 
. Значит, при 
уравнение не имеет никаких корней. Чтобы оба корня были отрицательны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия: сумма корней 
, а произведение корней 
. Составим систему 
. Если один корень равен 0, то 
и других корней нет. Значит, нужно объединить промежутки 
, где нет никаких корней, промежуток 
, где оба корня отрицательны, и точку 0, где один нулевой корень. Ответ: 
.
4. Определить знак корней квадратного уравнения 
. Решение. 1) Рассмотрим случай 
. В этом случае получаем линейное уравнение 
, т. е. в этом случае имеется один положительный корень. 2) Пусть 
. Так как 
, то при 
корней нет. 3) При 
, получаем уравнение 
с отрицательным корнем 
и уравнение 
с положительным корнем 
. 4) Пусть 
. Оба корня положительны, если 
. Оба корня отрицательны, если выполняются условия 
. Корни разных знаков, если 
. 6) Пусть один корень равен нулю. Подставляя 
в уравнение, получаем 
. Само уравнение приобретает вид 
. Значит, второй корень отрицательный. Ответ: при 
корней нет, при 
отрицательные корни, при 
один корень отрицательный, второй равен нулю, при 
корни разных знаков, при 
корни положительны.
