Научное общество учащихся«Эврика»

 

Муниципальное бюджетноеобщеобразовательное учреждение

«Истоминская основная общеобразовательнаяшкола»

 

 

 

 

Научно –исследовательская работа

по математике на тему:

«Извлечение квадратных корней из чисел  без калькулятора»

 

 

 

 Выполнила: Ряхина Елена

ученица  8  класса

Научный руководитель:

Елфимова СветланаВладимировна,

учитель математики

 

 

г. Балахна

2022  год

Оглавление

Введение. 3

1. Обзор литературы.. 5

1.1  Историяквадратного корня. 5

1.2 Теорема о последнейцифре квадрата числа. 6

1.3  Способ разложенияна простые множители. 6

1.4  Метод вычетовнечётного числа. 8

1.5 Метод отбрасыванияполного квадрата. 9

1.6 Извлечениеквадратного корня уголком.. 9

1.7 Метод подбора(метод оценки). 11

1.8 Выводы по 1 главе. 14

2. Результаты и ихобсуждение. 15

2. 1 Социологическийопрос учащихся. 15

2.2  Мои исследования. 15

2.3 Мастер-класс потеме «Извлечение квадратного корня из натурального числа уголком». 23

2.4 Выводы по 2 главе. 23

Заключение. 24

Список литературы.. 25

Приложения. 26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Актуальностьисследования. В этом учебном году при изучении  темы «Арифметический квадратный корень» мы учились находить значение квадратного корня из числа,используя таблицу квадратов и  знания таблицы умножения. (Приложение1) Науроках математики  не разрешается пользоваться калькулятором, а таблица квадратовне всегда под рукой, поэтому для меня стала актуальной тема «Извлечениеквадратных корней  без калькулятора  и таблицы квадратов».  И  на ОГЭ таблицаквадратов дается только для двузначных чисел. Проблема: как извлечьквадратный корень из числа, которого нет в таблице квадратов? Как извлекатьквадратные корни при решении текстовых задач на ЕГЭ (на профильном уровнетаблица квадратов не предлагается)? Эти вопросы и легли в основу исследования,которое для меня стало маленьким открытием.

Цель работы: найтирациональный способ извлечения квадратногокорня  из натуральных чисел без калькулятора и таблицы квадратов, который можноиспользовать на уроках и ОГЭ, ЕГЭ

Задачи:

1.                Узнать историю квадратного корня

2.           Изучить различные способы извлечения квадратногокорня  из чисел

без калькулятора и таблицы квадратов

3.           Научиться применить эти способы для  извлечения квадратных корней из чисел без калькулятора и таблицы квадратов

4.           Проанализировать и отобрать самые  рациональныеспособы

извлечения квадратного корня  изчисел без калькулятора и таблицы квадратов для практического применения

5.           Провести анкетирование среди учащихся своего класса

6.           Сделать выводы по проделанной работе

7.           Провести мастер-класс для  своих одноклассников

Объект исследования:математический символ – квадратный корень.

Предмет исследования:  способыизвлечения квадратных корней из

чисел без калькулятора.

Гипотеза: существуют рациональныеспособы  извлечения квадратных корней из натуральных чисел без калькулятора,которые можно использовать на уроках и ГИА.

Методы исследования: изучениелитературы и интернет – источников, анализ, сравнение, обобщение полученнойинформации, социологический опрос.

Новизна работы: в работе представлен материал, который не изучается в школьном курсе математики.

Практическая значимость:данный материал можно использовать

 в 8- 11 классах на уроках, олимпиадах, ОГЭ иЕГЭ.

 

              

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Обзор литературы

1.1  История квадратного корня

Определение квадратного корня:  квадратным корень из числа a, — называют  неотрицательное число,квадрат которого равен а. 

Термин корень имеет долгую и сложную историю. Извлечениеквадратного корня древние греки понимали строго геометрически: как нахождениестороны квадрата по известной его площади.

Современная форма квадратного корня  появилась несразу. Эволюция знака радикала длилась почти пять веков, начиная с XIII в.,когда итальянские и некоторые европейские математики впервые называликвадратный корень латинским словом Radix (корень) или сокращенно R.  Современноеобозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф в 1525 году,который был автором учебника алгебры «Красивый и быстрый счет при помощиискусных правил алгебры»:

Такая форма записи началавытеснять прежний знак R.

Черта надподкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт (1637) дляиной цели (вместо скобок). Однако некоторое время знак корня писали разрываяверхнюю черту, а именно так: .

Эта черта вскоре слилась сознаком корня.

Самое близкое к современному написаниюрадикала применял Ньютон в своей «Универсальной арифметике» (1685 г.). Впервыезапись корня, полностью совпадающая с сегодняшней, встречается в книгефранцузского математика Ролля  «Руководство алгебры», вышедшей в 1690 году.Только через некоторое время после ее написания математиками планеты принятаединая и окончательная форма записи квадратного корня:

1.2 Теорема о последней цифре квадрата числа

    Если числа, оканчивающиеся цифрами от 1 до 9,  возвести в квадрат, то врезультате может получиться число, которое может оканчиваться цифрами:

…1²=…1, …2²=…4, …3²=…9, …4²=…6, …5²=…5,…6²=…6,

…7²=…9, …8²=…4, …9²=…1

   Если число, записанное под корнем, оканчивается цифрами 2,3,7,8, то квадратныйкорень  из этих чисел не является натуральным числом.

Поэтому в своей работе ярассматриваю  способы извлечения корней из натуральных чисел, которые являютсяточными квадратами.

1.3  Способ разложения на простые множители

Дляизвлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители иизвлечь квадратный корень из произведения.

         Многиеприменяют его успешно и считают единственным.  Извлечение корня разложением намножители — трудоёмкая задача, которая тоже не всегда приводит к желаемомурезультату.

Есть одно НО! Способ хорош, если легко определяются делители 2, 3,4 и так далее. Попробуйте извлечь квадратный корень из числа 142129? Разложениена простые множители дает произведение 13*13*29*29. Такие делители подобратьсложно. Поэтому, этот способ лишь частично решает проблему извлечения безкалькулятора. Но для этого нужно знать признаки делимости.

 

Признаки делимости:

1)Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняяцифра является четной, т.е. также делится на два.

2) Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех егоцифр, также, делится на три.

3) Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняяцифра – это 0 или 5.

4) Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенногочисла его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.

5) Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модульразности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.

6) Число делится на 13, когда разность числа десятков с девятикратным числом, стоящего вразряде единиц, делится на 13.

7) Число делится на 17  когда модуль разности числа десятков и умноженной на 5 цифрой вразряде единиц делится на 17.

8) Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоеннойцифрой в разряде единиц, делится на 19.

9)Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроеннымчислом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.

10)Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроеннойцифрой в разряде единиц, делится на 29.

11)Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков иутроенной цифры в разряде единиц делится на 31.

12)Число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по трицифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.

13)Число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков ичетырёхкратной цифры в разряде единиц делится на 41.

1.4  Метод вычетов нечётного числа

       Арифметическоеизвлечение квадратного корня подразумевает под собой, что для квадратов чиселверны следующие равенства:

1 = 1² = 1

1 + 3 = 2² = 4

1 + 3 + 5 = 3² = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 4² = 16 ит.д.

1 + 3 + 5 + 7 + …+ 15= 8²= 64 , количество нечетных слагаемых равно8

1 + 3 + 5 + 7 + …+33 = 17²= 289, количество нечетных слагаемых равно

17

То есть, узнать целую частьквадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку,пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, ипосчитав количество выполненных действий.

Суть метода: из подкоренного выражения нужно последовательновычитать нечетные числа пока разность не станет равной 0, и посчитатьколичество вычитаний. Например, посчитаем:

256-1, 255-3, 252-5, 247-7, 240-9, 231-11, 220-13, 207-15, 192-17,175-19, 156-21, 135-23, 112-25, 87-27, 60-29, 31-31      

Общее количество вычитаний равно 16.

       Российские ученыеназывают этот метод извлечения арифметического квадратного корня «методомчерепахи» из-за его медлительности.

 

1.5 Метод отбрасывания полного квадрата

Этот способ применим только для извлечения квадратного корня източного квадрата четырехзначных чисел, а алгоритм нахождения зависит отвеличины подкоренного числа. Выделяем из числа квадрат, который оканчиваетсятой же цифрой, что и данное число.

       Извлечение корней до числа . Число 2209 представим в виде суммы,выделив из этого числа квадрат 9, затем выделенный квадрат отбрасываем, к числусотен первого слагаемого (22) прибавляем всегда 25. Получим ответ 47.

      Так можно извлекать только квадратные корни до числа.

.

       Извлечение корней после 75²= 5625, вычисляются следующимобразом:

.

 

1.6 Извлечение квадратного корня уголком

Этот способ позволяетизвлечь квадратный корень из любого числа.

Основой этого способа,является состав числа

 =.

 

Алгоритм:

1. Разбиваем число(5963364) на пары справа налево (5`96`33`64)

2. Извлекаем квадратныйкорень из первой слева группы

( -число 2). Так мы получаем первую цифру числа b.

3. Находим квадрат первойцифры (2²=4).

4. Находим разностьпервой группы и квадрата первой цифры (5-4=1).

5.Сносим следующие двецифры (получили число 196).

6. Удваиваем первую,найденную нами цифру, записываем слева за чертой (2*2=4).

7.Ищем вторую цифру числаb: удвоеннаяпервая цифра, найденная нами, становится цифрой десятков числа, при умножениикоторого на число единиц, необходимо получить число меньшее 196 (это цифра 4,44*4=176). 4 — вторая цифра числа b.

8. Находим разность (196-176=20).

9. Сносим следующуюгруппу (получаем число 2033).

10. Удваиваем число 24,получаем 48.

11.48 десятков в числе,при умножении которого на число единиц, мы должны получить число меньшее 2033(484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть третья цифра числа b.

Далее процессповторяется.

 

1.7 Метод подбора (метод оценки)

Данныйметод эффективно применяется при вычислении квадратных корней из чисел вдиапазоне от 100 до 10 000.

Алгоритмизвлечения квадратного корня методом оценки.

       Рассмотрим пример извлечения квадратного корня из числа 7056.

Шаг№1 — ограничение корней.

6400< 7056 < 8100,  80² < 7056 < 90²,80 <  <90.

Шаг№2 – «отсев» лишних чисел. У нас есть 10 чисел —«кандидатов» на корень.

      Квадратный корень из 7056 обязательно заканчивается на 4 или на 6, получаем:

80<<90;

=…4или = …6

Известно,что корень лежит в пределах от 80 до 90, на котором есть только два числа,оканчивающихся на 4 и 6, это числа 84 и 86.

Шаг №3 — финальные вычисления.Итак, у нас осталось 2 числа «кандидата». Чтобы узнать, какое из них являетсякорнем, необходимо взять «золотую середину» — число 85, и возвести его вквадрат  85² = (8∙(8+1))25 = 7225, 7225 > 7056, значит,  = 84.

А теперь найдём значение . Такое выражениеполучилось при решении задачи:Теплоход проходит по течению реки до пунктаназначения 336 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдитескорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч,стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 48часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

1.                Сначала определим — между какими числами (кратными ста) лежитнаш результат.

Очевидно, что результат корня из данного числа лежит в пределах от300 до 400, так как  300²=90000  и   400²=160000.

Действительно:.

2.          .Т.о., первая цифра — 3.

3.        Далее смотрим, где «стоит» это число: ближе к  или к ?

Число  находитсягораздо ближе к . Можносделать вывод, что результат  будет больше360.

4.                Проверим число 370: 370 ∙ 370 = 136900

, так как .

5.                Проверяем число 380:  380 ∙ 380 = 144400

, так как .

6.                Проверяем число 390: 390 ∙ 390 = 152100

, так как .

Мы установили, что результат данного корня лежит в пределах от 380до 390.

 

Далееиспользуются свойства произведений чисел. Известно, что:

•             Произведениечисел имеющих на конце 1 или 9 дают число с 1 в конце. 

Например, 21 ∙ 21 =441;19∙19= 361.

•             Произведениечисел имеющих на конце 2 или 8 дают число с 4 в конце. 

Например, 18 ∙ 18 = 324;22∙22 = 484.

•             Произведениечисел имеющих на конце 5 дают число с 5 в конце. 

Например, 25 ∙25 = 625.

•             Произведениечисел имеющих на конце 4 или 6 дают число с 6 в конце. 

Например, 26 ∙26  = 676;14∙14 = 196.

•             Произведениечисел имеющих на конце 3 или 7 дают число с 9 в конце. 

Например, 17 ∙ 17 = 289;23∙23 = 529.

Так как число  заканчиваетсяцифрой 6, то это произведение либо числа 384, либо 386.

*Только они при возведении в квадрат могут дать 6 в конце.

Проверяем: 384 ∙ 384 = 147456 ;   386 ∙ 386 = 148996

Значит, .

То есть, мы как бы подобрали верный ответ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.8 Выводы по 1 главе

При изучении  теоретического материала я узнала, что

1)термин корень имеетдолгую и сложную историю.  Знак корня изображали по-разному. Такие учёные, какКристоф Рудольф, Рене  Декарт, Ньютон и Ролль внесли вклад в изображение знакакорня.

2)теоремао последней цифре квадрата числа позволяет определить, будет ли значение корняцелым числом.

3)для извлеченияквадратного корня из числа можно использовать следующие методы:

-способ разложения на простыемножители

-метод вычетов нечётного числа

-метод отбрасывания полного квадрата

-извлечение квадратного корня уголком

-метод подбораугадыванием  (метод оценки)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Результаты и их обсуждение

2. 1 Социологический опрос учащихся

Социологический опрос проводился на базе МБОУ «Истоминская ООШ», средиобучающихся 8 — 9 классов. Всего в анкетировании приняли участие   23 человека.Результаты анкетирования находятся в Приложении 2.

 

Проанализировавполученные результаты опроса, можно сделать следующие выводы:

1. Все учащиеся8-9 классов  (100%) умеют применять таблицы квадратов натуральных чисел дляизвлечения квадратного корня из числа.

2.83%участников опроса  не умеют извлекать квадратныйкорень из числа, которого нет в таблице квадратов натуральныхчисел.

3.Большинствоучеников  (74%) не знают  способы извлечения квадратногокорня из чисел, больших 100, без применения таблицы квадратов натуральныхчисел.

4. При ответе навопрос: «Хотели бы вы  узнать способы извлечения  квадратного корня из чисел,больших 100, без применения таблицы квадратов?» 74% учеников ответилиутвердительно.

 

2.2  Мои исследования

В этом разделе я  применила  рассмотренные способы  извлечения квадратного корняиз чисел  529; 2304; 7396; 167281.   Первых три числа взяла из таблицыквадратов, а последнее число в таблице квадратов отсутствует.    Результатысвоих исследований занесла в таблицу.

 

 

Название способа			Плюсы		Минусы
1.                 Способ разложения на простые множители
529			Метод не сложный, понятный		Надо знать признак делимости на 23.
2304	Представленная информация была полезной? ДА 58.64% НЕТ 41.36% Проголосовало: 972
7396					Надо знать признак делимости на 43.
167281					Надо знать признак делимости на 409.
2.                 Метод вычетов нечётного числа
529	529-1=528;528-3=525; 525-5=520;520-7=513; 513-9=504;504-11=493; 493-13=480;480-15=465; 465-17=448;448-19=429; 429-21=408;408-23=385; 385-25=360;360-27=333; 333-29=304;304-31=273; 273-33=240;240-35=205; 205-37=168;168-39=129; 129-41=88;88-43=45;45-45=0  Вычетов 23. Значит		Понятный, простой в использовании		Занимает много времени.
2304	Алгоритм тот же		Понятный, простой в использовании		Занимает много времени.
7396	Алгоритм тот же		Понятный, простой в использовании		Занимает много времени.
167281	Алгоритм тот же		Понятный, простой в использовании		Занимает много времени.
3.                 Метод отбрасывания полного квадрата
529	Применить нельзя				Применим только для четырёхзначных чисел.
2304			Метод достаточно понятен. Компактная  запись.		Знать значения таблицы квадратов, сложен в запоминании Необходимы хорошие вычислительные навыки.
7396			Метод достаточно понятен. Компактная  запись.		Знать значения таблицы квадратов, метод сложен в запоминании Необходимы хорошие вычислительные навыки.
167281	Применить нельзя				Применим только для четырёхзначных чисел.
4.                 Извлечение квадратного корня уголком
529			Очень точный, применим к любым числам, занимает мало времени. Компактная  запись.		Требует логики,  хороших вычислительных навыков, метод сложный для  первоначального восприятия, требует запоминания алгоритма.
2304			Очень точный, применим к любым числам, занимает мало времени. Компактная  запись.		Требует логики, хороших вычислительных навыков, метод сложный для  первоначального восприятия, требует запоминания алгоритма.
7396			Очень точный, применим к любым числам, занимает мало времени. Компактная  запись.		Требует логики,  хороших вычислительных навыков, метод сложный для первоначального восприятия, требует запоминания алгоритма.
167281			Очень точный, применим к любым числам, занимает мало времени. Компактная  запись.		Требует логики  хороших вычислительных навыков, метод сложный для  первоначального восприятия, требует запоминания алгоритма.
5.                 Метод подбора  (метод оценки)
529	400<529<900; 202 <529<302 Т.е 1 цифра 2.  529 < 625, а 625 = 252.  20<< 25.Подбором находим 23, проверяем условие 23∙23=529. Верно.  Ответ: =23	Точный метод, достаточно понятен, применим к любым числам, не требует запоминания формул.		Требует многократного вычисления  произведения столбиком не всегда правильно угаданных чисел, трудоёмкий.
2304	1600<2304<2500; 402<2304<502 .Т.е. 1 цифра 4. 2304>2025, а 2025 = 452. 45 <<50. Подбором находим 48, проверяем условие 48∙48=2304. Верно. Ответ: = 48	Точный метод, достаточно понятен, применим к любым числам, не требует запоминания формул.		Требует многократного вычисления  произведения столбиком не всегда правильно угаданных чисел, Трудоёмкий.
7396	6400<7396<8100; 802 <7396<902 . Т.е. 1 цифра 8. 7396 >7225, а 7225 = 852. 85<< 90. Подбором находим 86, проверяем условие 86∙86=7396. Ответ:  = 86	Точный метод, достаточно понятен, применим к любым числам, не требует запоминания формул.		Требует многократного вычисления  произведения столбиком не всегда правильно угаданных чисел, трудоёмкий
167281	160000<167281<250000; 4002<167281<5002. Значит 1 цифра 1. 167281<202500, а 202500 = 4502. 400<<450. 4102 = 168100, 16728 < 168100. Значит  400<<410. Подбором находим 401 или 409. Проверяем 4012 =160801, 4092 = 167281. Ответ:  = 409	Точный метод, достаточно понятен, применим к любым числам, не требует запоминания формул.		Требует многократного вычисления  произведения столбиком не всегда правильно угаданных чисел, трудоёмкий.

 

 

Вывод:на основании полученных результатов я выяснила, что извлечь квадратный кореньиз натурального числа, которое является полным квадратом, можно, используя следующиеметоды: метод вычетов нечётного числа, извлечение квадратного корня уголком иметод подбора угадыванием (метод оценки), но самым рациональным оказался методизвлечения квадратного корня уголком. Метод отбрасывания полного квадратаприменим только для четырехзначных чисел. Способом разложения на простыемножители не всегда можно воспользоваться.

2.3 Мастер-класс по теме «Извлечение квадратного корня из натуральногочисла уголком»

 Исходя из результатовсоциологического исследования, был проведён мастер -класс для обучающихся 8класса. Ученики познакомились с алгоритмом извлечения квадратного корня излюбого натурального числа, оканчивающегося на цифры 1,4, 9, 6, 5.  Фотографии смастер-класса даны в Приложении 3.

2.4 Выводы по 2 главе

На основаниипроведенного исследования я сделала следующие выводы:

1.    В ходе проведенного социологического опроса я выяснила, что всеучащиеся 8-9 классов (100%)  Истоминской школы умеют пользоваться таблицей квадратовнатуральных чисел при извлечении квадратного корня.

2.    Выяснилось, что большинство учащихся (83%) не умеют извлекатьквадратные корни из чисел, которых нет в таблице квадратов. А также 74%учащихся не знают способы извлечения квадратного корня из чисел, больших 100,без применения таблицы квадратов и хотели бы узнать способы извлеченияквадратного корня из числа без калькулятора и таблицы квадратов 74% учащихся8-9 классов.

3.     Выполняя  исследовательскуюработу, я убедилась, что метод отбрасывания полного квадрата можно применитьтолько для четырехзначных чисел. Способом разложения на простые множители невсегда можно воспользоваться. А метод вычетов нечётного числа, извлеченияквадратного корня уголком и метод подбора угадыванием (метод оценки) можноприменить для любого натурального числа.

4.     В результатепроведенных экспериментов, мне удалось выделить самый  рациональный методизвлечения квадратного корня из числа без калькулятора и таблицы квадратов –метод извлечения квадратного корня уголком (занимает мало времени в применениии не требует знаний специальных формул и правил).

 

Заключение

Подводя итоги исследовательскойработы, можно сказать, что я добилась поставленной цели: нашла рациональныйспособ извлечения квадратного корня из натурального числа уголком. Узналаоб истории возникновения знака арифметического квадратного корня, изучила инаучилась применять  разные способы извлечения квадратных корней из натуральныхчисел без калькулятора и таблицы квадратов.

Впроцессе исследования была проведена работа с источниками информации (анализ исистематизация информации), изучение теоретических материалов, планирование,подготовка и проведение исследования, анализ проделанной работы.

В ходе выполнения своейисследовательской работы мне удалось подтвердить свою гипотезу, что существуютрациональные способы  извлечения квадратных корней из натуральных чисел безкалькулятора, которые можно использовать на уроках и ГИА.

Проведенныеисследования подтвердили, что извлечь квадратный корень из любого натуральногочисла можно, используя метод вычетов нечётного числа, извлечения квадратногокорня уголком и метод подбора угадыванием (метод оценки). Метод отбрасыванияполного квадрата применим только для четырехзначных чисел. Не всегда можновоспользоваться способом разложения на простые множители.

Такжедля своих одноклассников был проведен мастер – класс по теме: «Извлечениеквадратного корня уголком».

Работа« Извлечение квадратных корней из чисел  без калькулятора» имеет большоепрактическое значение. Этот материал можно использовать на уроках математики,физики, ОГЭ и ЕГЭ.

 

Список литературы

 

1.     Колпаков А.И. О знаке квадратного корня. //https://ankolpakov.ru/2011/03/04/o-znake-kvadratnogo-kornya/ (дата обращения 20.01.2022).

2.     Пичугин Л.Ф. За страницамиучебника алгебры. Книга для учащихся 7- 9 классов средней школы. – Москва,Просвещение, 1990 г.

3.     Ткачева М.В. Домашняяматематика. Книга для учащихся 8 класса учебных заведений.  – Москва,Просвещение, 1994г.

4.    И.Н.Сергеев, С.Н. Олехник,  С.Б.Гашков «Примени математику». – М.: Наука, 1990

5.    КеримовЗ., «Как найти целый корень?» Научно-популярный физико-математический журналКвант №2, 1980

6.    ПетраковИ.С. «Математические кружки в 8-10 классах»;  Книга дляучителя.–М.:Просвещение,1987

7.    ТихоновА.Н., Костомаров Д.П.  «Рассказы о прикладной математики».- М.: Наука. Главнаяредакция физико- математической литературы, 1979

8.     Ткачева М.В. Домашняяматематика. Книга для учащихся 8 класса   учебных заведений.  – М.:Просвещение, 1994г.

9.     Жохов В.И., Погодин В.Н.Справочные таблицы по математике.-М.: ООО «Издательство «РОСМЭН-ПРЕСС»,2004.-120 с

10.              http://translate.google.ru/translate

11.              http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 1

Приложение 2

 

Социологическийопрос учащихся

№ 1 – Умеете  ливы  пользоваться таблицей квадратов для извлечения квадратного корня из числа?

 а) да    б) нет

№2 – Умеете ли вы  извлекать квадратный корень из числа, которого нет в таблице квадратов?

 а)да    б) нет

№ 3 – Знаете ли выспособы извлечения квадратного корня из чисел, больших 100, без применениятаблицы квадратов?

а) да   б) нет

№4 – Хотели бы вы узнать способы извлечения  квадратного корня из чисел, больших 100, безприменения таблицы квадратов?

а)да    б) нет

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 3

Мастер– класс по теме: « Излечение квадратного корня уголком»