Исследовательская работа Уравнения, содержащие абсолютную величину

Региональная научно-практическаяконференция

для молодежи и школьников «Шаг вбудущее, Сибирь!»

 

 

 

 

 

 

 

Уравнения, содержащие абсолютнуювеличину

 

 

Работу выполнила:

Бутакова Дарья,ученица 11класса

Муниципальное казённое обще –образовательное учреждение Средне –Муйская средняя общеобразовательная школа Усть- Удинского района Иркутской области

Руководитель:

Исакова Тамара Ивановна, учитель математики,высшей квалификационной категории. МКОУ Средне – Муйская СОШ Усть-Удинскогорайона Иркутской области

 

 

 

 

 

с. Средняя Муя,2018год

Содержание 

	Аннотация_	3 — 5
	Введение
1	Из истории происхождения	5 — 9
2	Способы решения уравнений, содержащих модуль	9 — 24
3	Решение уравнений, содержащих абсолютную величину	24 — 28
4	Применение уравнений, содержащих абсолютную величину на практике	28 — 29
5	Заключение	30
6	Список литературы	31
7	Приложения (раздаточный материал)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аннотация

Актуальность темы: Почемуя выбрала тему «Уравнения, содержащие абсолютную величину»?

n  Уравнения, содержащие модуль встречаются в курсе алгебрыи начала анализа, в разделе ЕГЭ по математике

n  Модуль встречается в таких науках, как физика, биология,информатика

n  На сегодняшний день, так как функция модуля вычисляетсяочень просто, ее ввели и в список стандартных функций фактически всех языковпрограммирования.

 

Проблема:

Абсолютная величина– это одна изсложнейших тем математики, которая выходит на Единый Государственный Экзамен. Оченьмногие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать уравнения, содержащиеабсолютную величину.  Не знают способы решения уравнений и применение данныхспособов на практике.

Цель исследования:

Ø  изучить способы решения уравнений, содержащих абсолютнуювеличину

Ø  расширить знания о применении уравнений, содержащихабсолютную величину в разных сферах на практике

Задачи:

Ø  познакомиться с историей возникновения абсолютнойвеличины

Ø  Научиться решать уравнения, содержащих абсолютнуювеличину

Ø  Уметь выбирать нужный способ при решенииуравнений, содержащих абсолютную величину

Ø  Подготовить дидактический материал, содержащийабсолютную величину в разделе ЕГЭ

Ø  Поработать в MicrosoftWord, Microsoft PowerPoint

Ø  Получить опыт публичного выступления

Предмет исследования:

·        Ресурсы  Интернет – сайтов,содержащих уравнения с абсолютной величиной

·        Изучила материал энциклопедийи справочников

·        Просмотрела и выбрала заданияиз Демо — вариантов ЕГЭ разных лет по математике

·        Изучила способы решения уравнений,содержащих абсолютную величину

Методы и приемы:

ü   Поиск информации в источниках, справочниках (краткий список литературы — добавить)

ü  Работа с ресурсами Internet

ü  умение работать в Microsoft PowerPoint и Microsoft Word

Гипотеза:      Существует две гипотезы:

n  я  считаю, что в XXI веке все научные работытребующие исследования часто базируются на применение определения модуля иприменение способов решения уравнений, содержащих абсолютную величину

n  Если мы будем знать способы решения уравнений,содержащий знак абсолютной величины, будем уметь их классифицировать на группы,то это позволит нам без особых усилий решать уравнения такого типа

Выводы: Выполняя исследовательскую работу

n  не только рассмотрела все способы решенияуравнений, содержащих абсолютную величину, но и ликвидировала свои проблемы поданной теме. Для меня это очень важно при сдаче ЕГЭ по математике

n  выяснила какое значение имеют уравнения,содержащие абсолютную величину в жизни человека.

n  Убедилась, что в современном мире прожить беззнаний решения уравнений, содержащих абсолютную величину невозможно. Чтобы бытьхорошим специалистом, уметь разбираться в большом потоке информации, необходимознать решение уравнений, содержащих абсолютную величину.

n  изучение столь важной и интересной темы даетположительную мотивацию для самообразования.

 

Описание работы

 Введение.

1. Из истории происхождения

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводеозначает – мера.  Это многозначное слово(омоним), которое имеет множествозначений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике,технике, программировании  и других точных науках. В архитектуре – это исходнаяединица измерения, устанавливаемая для данного  архитектурного сооружения ислужащая для выражения кратных соотношений его составных элементов. В технике -это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсальногозначения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, напримермодуль зацепления, модуль упругости и .т.п. Модуль объемного сжатия ( в физике)- отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению

 Считается, что данный  термин  впервые ввел впользование английский математик и философ  Роджер Котс, который в своюочередь  являлся учеником знаменитого ученого  Исаака Ньютона.  Великийнемецкий физик, изобретатель, математик и философ Готфрид Лейбниц также в своихработах и трудах использовал функцию модуля, которую он обозначил mol x. Однако, уже общепринятое и современное значение модуля как абсолютной величиныбыло дано еще в 1841 году выдающимся немецким математиком Карлом Вейерштрассом.В начале девятнадцатого века ученые Арган и Коши ввели данное понятие и длякомплексных чисел.  На сегодняшний день, так как функция модуля вычисляетсяочень просто, ее ввели и в список стандартных функций фактически всех языковпрограммирования.

 

 

II. Способырешения уравнений, содержащих абсолютную величину

§1. Определение модуля

1.      Абсолютной величиной (модулем) называется

2.     Модуль  геометрически  означаетмножество точек, расположенных на расстоянии не меньшем а от начала координатна числовой прямой

│а│ = ddd

3.Модулем числа а называется наибольшее из чисел а и (-а), т.е.

│а│= мах (а; -а).

§ 2. Свойства модуля

1)       √a² = |a|

2)     |ab| = |a| * |b|

3)     |a+b| ≤ |a| + |b|

4)     |a-b| ≥ |a| — |b|

5)     |a/b| = |a|/|b|

6)     |a-b| = |b-a|

7)      

 

§ 3 Способы решения уравнений, содержащихабсолютную величину

1 способ -спомощью определения модуля(универсальный):алгебраический, геометрический

 

Пример 1. Решитьуравнение ǀх — 5ǀ = 3

а) решаем с помощьюпервого определения модуля        

     х – 5=3, х — 5≥0,             х=8, х≥5

     -(х — 5)=3, х -5<0,         х=2, х<5.                                     Ответ:2; 8

Это же уравнение решим,применяя третье определение модуля: х – 5=3 и   х – 5=-3 . Ответ: 8; 2

б)данное уравнение решимгеометрически. Найдём значение фиксированной точки на числовом луче

2 способ — Методинтервалов. Данный способприменяется, если уравнение содержит суммы нескольких отдельных модулей . сутьего состоит в следующем:

1) приравниваются к нулювыражения, стоящие под знаком модуля;

2) полученные значенияоткладываются на числовой прямой, которая при этом разбивается на интервалы(промежутки), в каждом из которых свой знак под модульного выражения;

3) решаются полученныеуравнения в каждом из интервалов.

 

Пример Решитьуравнение  |х — 5| + |х — 2| = 4

•        найдём нули под модульныхфункций х — 5 = 0, х – 2 = 0; х = 5, х = 2

•        отметим полученные  значенияна числовом луче

• решаем уравнение на каждом из получившихся промежутков. Применяем при этом определение раскрытия модуля. Каждый из модулей может быть раскрыт или со знаком минус, или со знаком плюс. После этих действий остается лишь решить каждое из полученных простых уравнений на рассматриваемом интервале и объединить полученные ответы.

 

а) х < 2

— (х —  5) – (х – 2) =4

— х + 5 – х + 2 = 4

-2х= -3

х = 1,5 Ответ: 1,5

 

б) 2  ≤ х <5

-(х – 5)+ (х – 2) = 4

-х + 5 + х – 2 = 4

3 ≠ 4, неравенствоневерное, решений нет

 

в) х≥5

(х – 5) + (х – 2) = 4

х – 5 + х – 2 = 4

2х – 7 = 4

2х = 11

х = 5,5 Ответ: 5,5

 

Общий ответ: 1,5; 5,5

 

Пример 2. Найти  корниуравнения    |x + 1| + |2x – 4| – |x+ 3| = 2x – 6.

Рассуждаем аналогично предыдущему примеру

1) найдем нули выражений, стоящих в модулях. Для этогонужно приравняем их к нулю, и решить полученные уравнения. x + 1 = 0, 2x – 4 =0, x + 3 = 0; x = -1, x = 2, x = -3

2) расставим получившиеся точки в нужном порядке на координатнойпрямой. Они разобьют ось на четыре интервала.

3) определим на каждом из получившихся интервалов знакивыражений, стоящих под знаком модуля. Знаки под модульных функций на каждомпромежутке удобно отобразить в таблице:

	х< -3	-3≤ х < 1	1 ≤ х < 2	Х ≥ 2
Х + 1	—	—	+	+
2х —  4	—	—	—	+
Х + 3	—	+	+	+

 

3) решим уравнение на каждом интервале.

а) (-∞; -3). x = 3. Полученный ответ не входит в рассматриваемыйинтервал, поэтому решений нет

б) [-3; -1). x = 6/5. Полученное число не принадлежит рассматриваемомуинтервалу, поэтому оно не является корнем исходного уравнения.

в) [-1; 2), x = 2. В рассматриваемый интервал число 2 не входит.Ответ: нет решения;

г) [2; +∞). После раскрытия модулей имеем следующее уравнение:

(x + 1) + (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. 

x + 1 + 2x – 4 – x – 3 = 2x – 6

0 = 0. Ответ множество чисел, удовлетворяющих условию x ≥ 2.

3 способ — Способ последовательного раскрытия модуля

Опорная информация

│а│= а,если а≥0

│а│=-а, если а<0

Пример. Решить уравнение||х -3| — х + 1| + х = 6

1)    преобразуем уравнение ||х — 3| — х + 1| = 6 – х

2)    раскрываем модуль, применяемопределение модуля . Получаем

а)|х — 3| — х + 1 = (6 –х)                                     б) |х — 3| — х + 1 = -(6 – х) Решаем дваполучившихся уравнения. В каждом уравнении ещё раз применим определение модуляпри раскрытии модуля

|х — 3| = 6 – х + х-1                                             |х — 3| = — 6 + х + х — 1

|х — 3| = 5                                                              |х- 3| = 2х — 7  Решаем уравнение при 2х — 7≥ 0

х – 3 = 5        х -3 = -5                                           х -3 = (2х – 7)              х – 3= — (2х – 7)

х = 8               х = -2                                               х – 2х = — 4                  3х = 10

х =4                                х =10/3.          Найденные корни х =4, х =10/3 удовлетворяют условию 2х — 7≥ 0

Ответ: -2; 10/3; 4; 8

4 способ — способ одновременного раскрытия модулей (или способперебора)

Пример. Решить уравнение||х — 3| -х + 1| + х = 6

а) (+ ; +)

х – 3 – х + 1 + х = 6

х – 2 = 6

х = 8

б) (+ ; -)

-((х – 3) – х + 1 = 6

-(х – 3 – х + 1) + х = 6

— ( -2) + х = 6

2 + х = 6

Х = 4

в) (- ; +)

 

(- (х – 3) – х + 1) + х = 6

-2х + 4 + х = 6

-х = 2

х = -2

г)

— ( — (х – 3) – х + 1) + х = 6

— ( — х + 3 – х + 1) + х =6

2х – 4 +х = 6

3х = 10

Х = 10/3

5 способ — Возведения в квадрат

Опорнаяинформация

1.     Опорная информация:
|а|=|в| а=вили а=-в;

а²=в² а=в илиа=-в; (1)

|а|=|в| а²=в²(2)
Сравнение двух модулей равносильносравнению квадратов их под модульных выражений то есть │а│ v │в│↔а² v в²

В этом варианте могут появиться лишние корни, поэтому припереходе  │а│=в к уравнению а²=в² необходимо каким-либоспособом отобрать лишние корни. Это возможно или путем прямой подстановки висходное уравнение, в случае получения конечного числа корней, или путемустановления для получаемых результатов выполнения дополнительных условий(например, в(x)≥0)

Пример:

││х-1│-1│=2

(│х-1│-1)²=2²

(│х-1│-1-2)(│х-1│-1+2)=0

│х-1│-3=0                     │х-1│+1=0

│х-1│=3                                    │х-1│=-1, нетрешения

Х-1=3, х-1=-3

Х=4, х=-2     Ответ: х=-2; х=4

 

Пример . Решим уравнение |х²-8х+5|=|х²-5|.

Учитывая соотношение (1), получим:

х²-8х+5= х²-5 или х²-8х+5=-х²+5

х=1,25 х=0 или х=4.
Таким образом, корни исходного уравнения: х₁=1,25; х₂₃=4.
Ответ: 1,25; 0; 4

Пример . |х+3|=|х-5|.

В силу соотношения (2) получаем: (х+3)²=(х-5)² х²+6х+9= х²-10х+25; х=1.  Ответ:1.

 

Пример 9 (1-3х)²=(х-2)².

 Учитывая соотношение (2), получаем: |1-3х|=|х-2|, откудаиз соотношения (1), имеем: 1-3х=х-2 или 1-3х= -х+2  х=0,75 х= -0,5.  Ответ:0,75; -0,5.

6 способ — использованиегеометрической интерпритации модуля для решения уравнений.

Опора:

• геометрический смысл модуля разности — величин-это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |x – a | -длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами, а и х. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений
• равносильные переходы:

а)|x – a| + |x – b|=b – a, где b ³ a Û a£ x £ b

б)|x – a| — |x – b|=b – a, где b ³ a Û x³ b

Пример. Решим уравнение |x – 1| + |x – 2|=1 сиспользованием геометрической интерпретации модуля.

Будем рассуждать следующим образом: исходя изгеометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собойсумму расстояний от некоторой точки абсцисс х до двух фиксированных точек сабсциссами 1 и 2. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка [1; 2]обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка- нет.Отсюда ответ: множеством решений уравнения является отрезок [1; 2].

Ответ: х Î [1; 2]

Пример. Решим уравнение |x – 1| — |x – 2|=1 1 сиспользованием геометрической интерпретации модуля.

Будем рассуждать аналогично предыдущему примеру, при этомполучим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единицетолько для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2.Следовательно решением данного уравнения будет является не отрезок, заключенныймежду точками 1 и 2, а луч, выходящий из точки 2, и направленный вположительном направлении оси ОХ.

Ответ: х Î¥)

Обобщением вышеприведенных уравнений являются следующие

7 способ — Графический способ решения уравнения

Опора. 1. Графики простейших функций, содержащихзнак абсолютной величины

Под простейшими функциями понимают алгебраическую суммумодулей линейных выражений. Сформулируем утверждение, позволяющее строитьграфики таких функций, не раскрывая модули ( что особенно важно, когда модулейдостаточно много ): Алгебраическая сумма модулей n линейных выраженийпредставляет собой кусочно- линейную функцию, график которой состоит из n +1прямолинейного отрезка. Тогда график может быть построен по n +2 точкам, n изкоторых представляют собой корни внутри модульных выражений, ещё одна —произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней и последняя —с абсциссой, большей большего из корней.

Например:

1)f(x)=|x — 1| Вычисляя функции в точках 1, 0 и 2,получаем график, состоящий из двух отрезков(рис.1)

2) f(x)=|x — 1| + |x – 2| Вычисляя значение функиции вточках с абсциссами 1, 2, 0 и 3, получаем график, состоящий из двух отрезковпрямых.(рис.2)

3) f(x)=|x — 1| + |x – 2| + |x – 3| Для построенияграфика вычислим значения функции в точках 1, 2, 3, 0 и 4 (рис.3)

4) f(x)=|x — 1| — |x – 2| График разности строитсяаналогично графику суммы, тоесть по точкам 1, 2, 0 и 3.

рис1.                           рис2.                                      рис3.                          рис4.

Суть этого способа заключается в том, чтобыпостроить графики данных функций. В случае, если графики пересекутся, точкипересечений данных графиков будут являться корнями нашего уравнения. В случае,если графики не пересекутся — уравнение корней не имеет. Этот способ, вероятно,реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как,во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а,во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являютсяточными.

Пример. Решить графически |х +2|=3. Построимграфики функций у=|х+2| и у=3. Для построения графика у= | х+2ǀ, построимграфик функции у=х+2, а затем отразим часть прямой, лежащую ниже оси ОХ.Абсциссы точек пересечения графиков и есть корни уравнения: х=1, х= — 5.

 Ответ: -5; 1.

Пример . |х2-4| = |2-х2|. Построим графикифункций у= | х2-4ǀ и у= ǀ2-х2ǀ. Для этого построим графики функций у= х2-4 иу=2-х2, а затем отобразим часть графиков, лежащую ниже оси ОХ.

  Ответ х= -1,8; 1,8.

1. Практическое применение(архитектура)
2. Заключение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Список использованной литературы

• yandex.ru/images›дидактический материал по теме уравнения
• nenuda.ru›абсолютная-величина.html по теме: «Решение уравнений и неравенств, содержащих знак абсолютной величины». … Звавич Л.И., Шляпочник М.В., Чинкина М.В.Дидактические материалыАлгебра и начала анализа 8-11.М.Дрофа,2001.
•  

Приложение

Раздаточный материал

Уравнения, решаемые методом интервалов

1. ∣x+2∣−∣3x−1∣+∣4−x∣=3∣x+2∣−∣3x−1∣+∣4−x∣=3
2. ∣3x−5∣+∣3+2x∣=2∣x+1∣∣3x−5∣+∣3+2x∣=2∣x+1∣
3. |х + 2| + |х-4| = 5х-20

log2 | х — 4| + log2 | х + 4| = 1/lg2 — 1   

 

1. | x+5| = |10+x|

2. |3x+1|+x=9
3. |x-3|+2|x+1|=4

4. |3x-1|=7x+11
5. |7x-1|=|2x+4|
6. |x+1|+|2-x|=|x+3|

 

││││х│-2│-1│-2│=2

 

Тренировочные упражнения.

2. | x+5| = |10+x|

4. |3x+1|+x=9
5. |x-3|+2|x+1|=4

7. |3x-1|=7x+11
8. |7x-1|=|2x+4|
9. |x+1|+|2-x|=|x+3|
10. x²=|1-2x²|
11. |9x-8|=4x+1
12. |x²-6x+7|=|3x-11|
13. |x+3|+|2x-1|=8
14. |5-x|=2(2x-5)
15. |5-2x|+|x+3|=2-3x
16. |5-x|+|x-1|=10
17. |x+2| =2/3-x
18. |x²+4x+2|=5x+16/3
19. |x²-4|-|9-x²|=5
20. |x-4,2|*(x-4,2)=-1
21. (2x-1)*(|x|+1)=3
22. X+1/|x-3|=2x
23. |x+2|/3=x+2/5+x
24. 2|x+1|=|x-3|
25. 2|x²+2x-5|=x-1
26. |x+1|-|x-2|+|3x+6|=0
27. 5/3-|x-1|=|x|+2
28. |x-|2x+3||=3x-1
29. ||x+4|-2x|=3x-1
30. |x²-3x+2|+x/|x²-x|+1=1
31. |x²-4x|+3/x²+|x-5|=1
32. |-2x-|3x+4|+5|=1-5x 

 

33. а) || х — 1| — 1| = 2
34. б) | х2 – 3х + 2| =  3х – х2  — 2
35. в) | х -3| = (х – 3)2
36. г) | х — 1| = х2
37. д) | sin2x| = ½
38. и) | cos x| = cos x
39. к) log2 | х3 +2х2 – 4х — 4| = 2
40. л) log2 | х — 4| + log2 | х + 4| = 1/lg2 — 1   

1.     | х² – 7х + 12 | = х² – 7х + 12

2.     | х² + 4х| + | -х² + 9| = | 4х + 9 |

 

 

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ по теме «Решение уравнений смодулем».
1. Какие числа являются решениями уравнения |х+3|= -4?
а) -7; б) -7; 1; в) нет корней; г) 1.
2. Решите уравнение |х+3|=7:
а) 7; б) -7; в) 0; 7; г) 7; -7.
3. Определите координаты точки пересечения графиков функций у=|2х+1| и у=0:
а) (0;0); б) (-0,5;0); в) (0;-0,5); г) (0,5;0).
4. Решите уравнение |х+3|+|х-1|=6:
а) 3; -2; б) 4; -2; в) -4; 2; г) 2; -3.
5. Сколько точек пересечения имеют графики функций у=||5,5х-4|+2| и у=3?
а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.
6. Решите уравнение |3х-7|=1-х:
а) 2; 3; б) -2; 3; в) -3; 2; г) -2; -3.
7. Сколько решений имеет уравнение (2,5х-5)2=(0,5х-6)2:
а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.

СИСТЕМА КАРТОЧЕК-ЗАДАНИЙ по теме «Решение уравнений с модулем».
1. ЗАДАНИЯ С УКАЗАНИЯМИ ИЛИ АЛГОРИТМИЧЕСКИМИ ПРЕДПИСАНИЯМИ И ОБРАЗОМВЫПОЛНЕНИЯ.
УКАЗАНИЯ ОБРАЗЕЦ ЗАДАНИЕ
Если |х-а|+|х-в|=в-а, где в ≥ а, то
а ≤ х ≤ в
|х-1|+|х-2|=1,
1 ≤ х ≤ 2.
Ответ: [1; 2]
а) |х-4|+|х-5|=1,
б) |х|-|х-1|=1,
в) |х-6|+|х-8|=2,
г) |х-0,5|-|х-4,5|=4.

Если |х-а|-|х-в|=в-а, где в ≥ а, то
х ≥ в
|х-1|-|х-2|=1,
х ≥ 2.
Ответ: [2; +∞).

АЛГОРИТМ ОБРАЗЕЦ ЗАДАНИЯ
1. Отметить все нули подмодульных выражений на числовой прямой. Они разобьютчисловую прямую на промежутки, в которых все подмодульные выражения имеют постоянныйзнак.
2. Из каждого промежутка взять произвольное число и подсчетом определить знакподмодульного выражения, по знаку раскрыть модули.
3. Решить уравнения и выбрать решения, принадлежащие данному промежутку.|х+1|+|х+2|=1.
Решение.
Подмодульные выражения х+1 и х+2 обращаются в нуль при х= -1, х= -2.

1) -3 (-∞; -2]
-х-1-х-2=1; х= -2;
-2 (-∞; -2].
2) -1,5 (-2; -1)
-х-1+х+2=1; 1=1; х — любое число из промежутка (-2; -1).
3) 0 [-1; +∞)
х+1+х+2=1; х= -1;
-1 [-1; +∞).
Ответ: [-2; -1].
1) |14-х|+|х+1|=7;
2) |х|-|х+2|=2;
3) |х2-4|=|2х-1|;
4) | х2-6х+5|+|3-х|=3

2. ЗАДАНИЯ «НАЙДИ ОШИБКУ».
1.
Решить уравнение: |х2-8х+5|=| х2-5|.
Решение.
|х2-8х+5|=| х2-5|
х2-8х+5= х2-5, или х2-8х+5=5- х2,
-8х+10=0, 2 х2-8х=0,
х=1,25. х(2х-8)=0,
х=0, или 2х-8=0,
2х=8,
х=0,25.
Ответ: 1,25; 0,25. ВЕРНОЕ РЕШЕНИЕ

2.
Решить уравнение х2-6х+|х-4|+8=0.
Решение.
Если х-4 ≥ 0, то Если х-4 < 0, то
х2-6х+х-4+8=0, х2-6х-х+4+8=0,
х2-5х+4=0, х2-7х+12=0,
х1=4, х2=1. х1=4, х2=3.
1 — не удовлетворяет условию. Оба корня удовлетворяют
условию.
Ответ: 1; 3; 4. ВЕРНОЕ РЕШЕНИЕ

3.
Решить уравнение |х-1|-2|х+3|+х+7=0.
Решение.
Решим уравнение методом интервалов, для этого найдем концы интервалов, решивуравнения
х-1=0 и х+3=0
х=1 х= -3.
-х+1-2(-х-3)+х+7=0; -х+1-2х-6+х+7=0; х-1-2х-6+х+7=0;
2х+14=0; -2х+2=0; 0=0.
х= -7. х=1. х — любое число.
Ответ: х – любое число. ВЕРНОЕ РЕШЕНИЕ

3. ЗАДАНИЯ С СОПУТСТВУЮЩИМИ УКАЗАНИЯМИ И ИНСТРУКЦИЯМИ.
1.
Решить уравнение |х-2|+|2х-7|=3.
Решение.
Решим уравнение методом интервалов.
1) Найдите нули подмодульных выражений, решив уравнения:
х-2=0 и 2х-7=0.
х1=… х2=…
2) Отметьте полученные значения на координатном луче.

3) Решите исходное уравнение на каждом из интервалов, предварительно определивзнак подмодульного выражения. Учитывая знак, раскрыть модули.

4) Проверьте, принадлежат ли найденные корни указанным промежуткам.
Ответ: …………………………………………………….

2.
Решить уравнение ||х-3|-х+1|=6.
Решение.
1) Раскройте внешний модуль, используя определение: |а|=а, если а ≥ 0 и
|а|= -а, если а < 0.
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
2) Перенесите слагаемые, не содержащие знак модуля, в правую часть уравнения ирешите каждое из полученных уравнений методом последовательного раскрытиямодуля.
………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………….
3) Проверьте, удовлетворяет ли найденный корень указанному условию.
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
Ответ: …………………………………………………….

4. ЗАДАНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ КЛАССИФИКАЦИИ.
1.
Выпишите уравнения, которые решаются с помощью зависимостей между величинами,их модулями и квадратами величин. Решите эти уравнения.
1) ||х|+3|=3;
2) |х|+|х+4|=х-1;
3) |х+2|=|3-х|;
4) |х+3|+|х-1|=7;
5) (2х-3)2=(3,5х-1)2;
6) |х2-4х+5|=|х2-9|;
7) |11х-7|= -3;
8) |х-2|+|х-1|=1;
9) х2-х-2=|5х-3|;

2.
Выпишите уравнения, которые решаются с использованием геометрическойинтерпретации модуля. Решите эти уравнения.
1) |х|-|х-8|=2;
2) |х²-2х-3|=3х-3;
3) |2х-|2х-|2х-3|||=0;
4) |х-1|-2|х+4|+х+11=0;
5) |х-3|+|х-4|=1;
6) (5х-4)²=(2х-1)^{27) |2,5х-11|= -2;
8) |х-7|-|х-9|=2.}

5. ЗАДАНИЯ С ВЫПОЛНЕНИЕМ НЕКОТОРОЙ ЧАСТИ.
1.
Решить уравнение (х²-5х+6)2-5•| х²-5х+6|+6=0.
Решение.
Пусть | х²-5х+6|=t, тогда, учитывая, что (х²-5х+6)2=| х²-5х+6|2,получим уравнение: t²-5t+6=0. Решением этого уравнения являютсячисла …….., поэтому исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
| х²-5х+6|=… или | х²-5х+6|=…
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………

Ответ: ………………..

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА по теме «Решение уравнений с модулем»
1. Решите уравнение |х-3|=7.
2. Решите графически уравнение |2х+1|=3.
3. Решите уравнение методом интервалов |х+1|+|х-1|=3.
4. Решите уравнение методом последовательного раскрытия модулей |-х+2|=2х+1.
5. Решите уравнение (2х+3)²=(х-1)².
6. Решите уравнение самым удобным способом |х²+6х+2|=3|х+2|.
7. При каком значении а уравнение можно решить, используя геометрическуюинтерпретацию модуля: |х-а|+|х-9|=1?

Карточки.

Карточки на “3”.

К-1	К-2	К-3	К-4	К-5
— | x | = — 3,1;	— | x | = — 11,2;	— | x | = 3,3;	— | x | = 11,02;	— | x | = — 7,5;
2| x | = 24;	3| x | = 81;	2| x | = 36;	4| x | = 56;	3| x | = 72;

 

К-6	К-7	К-8	К-9	К-10
— | x | = — 1,5;	— | x | = 3,4;	— | x | = 2,2;	— | x | = — 0,6;	— | x | = 1,1;
6| x | = 24;	3| x | = 39;	5| x | = 125;	2| x | = 102;	7| x | = 777;

 

Карточки на “4”.

К-1	К-2	К-3	К-4	К-5
— | x | = — 3,1;	— | x | = — 11,2;	— | x | = 3,3;	— | x | = 11,02;	— | x | = — 7,5;
2| x | + 4 = 8;	3| x | + 5 = 17;	2| x | — 7 = 3;	4| x | — 1 = 35;	5 + 3| x | = 32;

 

К-6	К-7	К-8	К-9	К-10
— | x | = — 1,5;	— | x | = 3,4;	— | x | = 2,2;	— | x | = — 0,6;	— | x | = 1,1;
11 — 6| x | = 5;	3| x | + 20 = 38;	5| x | — 11 = 14;	17 + 2| x | = 19;	13 — 7| x | = 6;

 

Карточки на “5”.

К-1	К-2	К-3	К-4	К-5	К-6
2| x | + 4 = 8;	3| x | + 5 = 17;	2| x | — 7 = 3;	4| x | — 1 = 35;	5 + 3| x | = 32;	11 — 6| x | = 5;
5| x | + 2| x | = 7;	7| x | — 3| x | = 8;	2| x | + 4| x | = 5;	3| x | + 5| x | = 1;	| x | + 2| x | = 9;	5| x | — | x | = 6;

 

КАРТОЧКА-ПОДСКАЗКА

 

№ 1.                                                                                       № 1.

3| x | = 36	5| x | = 100,
____________________________	| x | = 100 : 5,
____________________________	| x | = 20,
____________________________	x = ± 20.

 

№ 2.                                                                                       № 2.

2| x | + 4 = 12	3| x | + 5 = 14,
____________________________	3| x | = 14 – 5,
____________________________	3| x | = 9,
____________________________	| x | = 9 : 3,
____________________________	| x | = 3,
____________________________	x = ± 3.

 

№ 3.                                                                                       № 3.

4| x | — 2| x | = 30	5| x | — 3| x | = 24,
____________________________	| x | (5 – 3) = 24,
____________________________	2| x | = 24,
____________________________	| x | = 24 : 2,
____________________________	| x | = 12,
____________________________	x = ± 12.