ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ПЛАН ЛЕКЦИИ
I. Определенный интеграл как предел интегральных сумм
II. Свойства определенного интеграла
III. Оценка интеграла
IV. Теорема о среднем. Среднее значение функции
I. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Рассмотрим геометрическую задачу о вычислении площади криволинейной трапеции — фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции , прямыми
,
,
.
Предположим, что на отрезке
, то есть трапеция расположена над осью 0x. Разделим основание трапеции на n частичных интервалов
,
точками деления
.
![]() |
Проводя в точках деления прямые, параллельные оси 0y, разобьем рассматриваемую криволинейную трапецию на n частичных трапеций:
,
.. Возьмем в каждом из частичных интервалов произвольную точку
так, что
..
В точках (i =1… n) проведем прямые, параллельные оси 0y, до пересечения с графиком функции
. отрезки этих прямых соответственно равны
. На частичных интервалах построим n прямоугольников с высотами
и получим n -ступенчатую фигуру, показанную на рисунке. Площадь Sn этой фигуры зависит от того, каким образом произведено разделение отрезка
на интервалы, и от того, каким образом были выбраны точки
. Можно считать, что площадь Sn есть приближенное значение площади S криволинейной трапеции
. Это приближение оказывается тем более точным, чем больше n и чем меньше длины частичных интервалов. Площадью криволинейной трапеции называют предел, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn при неограниченном возрастании n и стремлении к нулю наибольшей из длин частичных интервалов.
Если – длина i -ого конечного интервала, то условие
предполагает бесконечное измельчение отрезка
. Однако из того, что число точек деления
, не следует, что
, поскольку точки деления xi могут быть выбраны произвольно. Если при измельчении отрезка
одна из точек, например
, фиксирована, то при этом длина отрезка
не стремится к нулю, хотя
. При этом площадь рассматриваемой ступенчатой фигуры и в пределе не станет равной площади криволинейной трапеции.
Запишем выражение для площади ступенчатой фигуры Sn как сумму площадей прямоугольников с основаниями и высотами
:
.
Тогда в соответствии с определением площади криволинейной трапеции
. (1)
К пределам, аналогичным (1), приводят многие задачи физики и прикладных дисциплин (вычисление работы переменной силы, нахождение пройденного пути, вычисление массы и др.). Поэтому имеет смысл, отвлекаясь от физического смысла функции и переменной x, ввести соответствующее равенству (1) общее математическое понятие.
Определение. Если для функции , непрерывной на отрезке
существует предел, к которому стремится n -ая интегральная сумма
при стремлении к нулю длины наибольшего из частичных интервалов, и если этот предел не зависит ни от способа разбиения интервала интегрирования на частичные интервалы, ни от выбора в них промежуточных точек, то его называют определенным интегралом и обозначают
. (2)
Как и в неопределенном интеграле, функцию называют подынтегральной функцией,
– подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, a – нижним и b – верхним пределами интегрирования.
В отличие от неопределенного интеграла, представляющего собой семейство функций, определенный интеграл есть число. Величина его зависит только от вида подынтегральной функции и пределов a и b, определяющих интервал интегрирования, но не от переменной интегрирования, поэтому справедливы равенства
Если для функции существует определенный интеграл
, то эта функция называется интегрируемой (по Риману) на отрезке [ a,b ].
Отметим без доказательства, что
1) всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке .
2) если ограниченная функция на отрезке
имеет лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке .
3) монотонная ограниченная функция всегда интегрируема.
II. Свойства определенного интеграла. К свойствам определенного интеграла относят следующие.
1. Свойство линейности, связанное с операциями над функциями: определенный интеграл над линейной комбинацией функций на отрезке равен линейной комбинации определенных интегралов от этих функций на том же отрезке:
(3)
Доказательство. Воспользуемся определением интеграла для функции
2. Свойства, связанные с отрезками интегрирования:
а) (4)
б) (5)
в) если
(6)
Доказательство. Поскольку для непрерывной функции предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения, можно считать, что точка с совпадает с одной и той же точкой деления. При этом интегральную сумму можно представить в виде
(7)
где в сумме Σ1 собраны все интервалы деления от a до c, в сумме Σ2 – от c до b и в сумме Σ – от a до b. Переходя в соотношении (7) к пределу, получим равенство, отражающее свойство (6), называемое аддитивностью определенного интеграла.
III. Оценка интеграла. Приведем некоторые теоремы, позволяющие проводить оценку определенного интеграла.
1. Если при всех
, то
.
2. Если на отрезке функции
и
удовлетворяют условию
, то
.
В случае, когда и
, последнее свойство имеет простую геометрическую иллюстрацию: площадь криволинейной трапеции
, ограниченной графиком функции
, больше площади криволинейной трапеции
, ограниченной графиком функции
.
3. Если m и M – наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [ a,b ], то
(8)
Доказательство. По условию тогда
на основании предыдущего свойства.
Но
и
что при подстановке в последнее неравенство и приводит к соотношению (8).
Если на отрезке [ a,b ], то неравенство (8) отражает тот факт, что площадь криволинейной трапеции
содержится между площадями прямоугольников
и
.
![Анастасия](/wp-content/uploads/2023/11/expert.webp)