X-PDF

IV. Теорема о среднем. Среднее значение функции

Поделиться статьей

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

 

ПЛАН ЛЕКЦИИ

I. Определенный интеграл как предел интегральных сумм

II. Свойства определенного интеграла

III. Оценка интеграла

IV. Теорема о среднем. Среднее значение функции

 

I. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Рассмотрим геометрическую задачу о вычислении площади криволинейной трапеции — фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции , прямыми , , .

Предположим, что  на отрезке , то есть трапеция расположена над осью 0x. Разделим основание трапеции на n частичных интервалов ,  точками деления .

 

Проводя в точках деления прямые, параллельные оси 0y, разобьем рассматриваемую криволинейную трапецию  на n частичных трапеций: , .. Возьмем в каждом из частичных интервалов произвольную точку  так, что ..

В точках  (i =1… n) проведем прямые, параллельные оси 0y, до пересечения с графиком функции . отрезки этих прямых соответственно равны . На частичных интервалах построим n прямоугольников с высотами  и получим n -ступенчатую фигуру, показанную на рисунке. Площадь Sn этой фигуры зависит от того, каким образом произведено разделение отрезка на интервалы, и от того, каким образом были выбраны точки . Можно считать, что площадь Sn есть приближенное значение площади S криволинейной трапеции . Это приближение оказывается тем более точным, чем больше n и чем меньше длины частичных интервалов. Площадью криволинейной трапеции называют предел, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn при неограниченном возрастании n и стремлении к нулю наибольшей из длин частичных интервалов.

Если  – длина i -ого конечного интервала, то условие  предполагает бесконечное измельчение отрезка . Однако из того, что число точек деления , не следует, что , поскольку точки деления xi могут быть выбраны произвольно. Если при измельчении отрезка одна из точек, например , фиксирована, то при этом длина отрезка  не стремится к нулю, хотя . При этом площадь рассматриваемой ступенчатой фигуры и в пределе не станет равной площади криволинейной трапеции.

Запишем выражение для площади ступенчатой фигуры Sn как сумму площадей прямоугольников с основаниями  и высотами :

 

.

 

Тогда в соответствии с определением площади криволинейной трапеции

 

.                                        (1)

 

К пределам, аналогичным (1), приводят многие задачи физики и прикладных дисциплин (вычисление работы переменной силы, нахождение пройденного пути, вычисление массы и др.). Поэтому имеет смысл, отвлекаясь от физического смысла функции  и переменной x, ввести соответствующее равенству (1) общее математическое понятие.

Определение. Если для функции , непрерывной на отрезке  существует предел, к которому стремится n -ая интегральная сумма  при стремлении к нулю длины наибольшего из частичных интервалов, и если этот предел не зависит ни от способа разбиения интервала интегрирования на частичные интервалы, ни от выбора в них промежуточных точек, то его называют определенным интегралом и обозначают

 

.                                (2)

 

Как и в неопределенном интеграле, функцию  называют подынтегральной функцией,  – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, a – нижним и b – верхним пределами интегрирования.

В отличие от неопределенного интеграла, представляющего собой семейство функций, определенный интеграл есть число. Величина его зависит только от вида подынтегральной функции и пределов a и b, определяющих интервал интегрирования, но не от переменной интегрирования, поэтому справедливы равенства

 

 

Если для функции  существует определенный интеграл , то эта функция называется интегрируемой (по Риману) на отрезке [ a,b ].

Отметим без доказательства, что

1) всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке .

2) если ограниченная функция  на отрезке имеет лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке .

3) монотонная ограниченная функция всегда интегрируема.

Представленная информация была полезной?
ДА
58.67%
НЕТ
41.33%
Проголосовало: 963

II. Свойства определенного интеграла. К свойствам определенного интеграла относят следующие.

1. Свойство линейности, связанное с операциями над функциями: определенный интеграл над линейной комбинацией функций на отрезке равен линейной комбинации определенных интегралов от этих функций на том же отрезке:

 

                          (3)

 

Доказательство. Воспользуемся определением интеграла для функции

 

2. Свойства, связанные с отрезками интегрирования:

а)                                                                                    (4)

б)                                                                                                  (5)

в)  если                                            (6)

 

Доказательство. Поскольку для непрерывной функции предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения, можно считать, что точка с совпадает с одной и той же точкой деления. При этом интегральную сумму можно представить в виде

                                (7)

 

где в сумме Σ1 собраны все интервалы деления от a до c, в сумме Σ2 – от c до b и в сумме Σ – от a до b. Переходя в соотношении (7) к пределу, получим равенство, отражающее свойство (6), называемое аддитивностью определенного интеграла.

III. Оценка интеграла. Приведем некоторые теоремы, позволяющие проводить оценку определенного интеграла.

1. Если  при всех , то .

2. Если на отрезке функции  и  удовлетворяют условию , то .

    

В случае, когда  и , последнее свойство имеет простую геометрическую иллюстрацию: площадь криволинейной трапеции , ограниченной графиком функции , больше площади криволинейной трапеции , ограниченной графиком функции .

 

3. Если m и M – наименьшее и наибольшее значение функции  на отрезке [ a,b ], то

 

                                 (8)

Доказательство. По условию  тогда    

 

 

на основании предыдущего свойства.

Но

и

что при подстановке в последнее неравенство и приводит к соотношению (8).

Если  на отрезке [ a,b ], то неравенство (8) отражает тот факт, что площадь криволинейной трапеции  содержится между площадями прямоугольников  и .


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.67%
НЕТ
41.33%
Проголосовало: 963

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет