X-PDF

Ковариация и коэффициент корреляции

Поделиться статьей

Пусть имеется двумерная случайная величина (X,Y), распределение которой известно, т.е. известна совместная плотность вероятности . Тогда можно найти математические ожидания и дисперсии одномерных составляющих X и Y. Однако математические ожидания и дисперсии случайных величин X и Y недостаточно полно характеризуют двумерную случайную величину (X, Y), т.к. они не выражают степени зависимости её составляющих X и Y. Эту роль выполняют ковариация и коэффициент корреляции.

Ковариацией или корреляционным моментом Kxy случайных величин X и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий, т.е.

Из определения следует, что .

Для дискретных СВ:

Для непрерывных:

Ковариация двух случайных величин характеризует как степень зависимости случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки (ax, ay). Об этом также свидетельствуют свойства ковариации случайных величин.

1. Ковариация двух независимых случайных величин равна нулю.

Для независимых случайных величин . Поэтому формула ковариации для непрерывных случайных величин имеет вид:

,

так как каждый из полученных интегралов есть центральный момент первого порядка, равный нулю.

2. Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведений минус произведение математических ожиданий.

По определению

3. Ковариация двух случайных величин по абсолютной величине не превосходит произведения их средних квадратических отклонений:

Возьмем очевидное неравенство

Ковариация характеризует не только степень зависимости двух случайных величин, но и их разброс. Ковариация величина размерная, её размерность определяется произведением размерностей случайных величин. Это затрудняет использование ковариации для оценки степени зависимости различных случайных величин, имеющих различные размерности. Такого недостатка лишен коэффициент корреляции.

Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется отношение их ковариации к произведению СКО этих величин:

Представленная информация была полезной?
ДА
59%
НЕТ
41%
Проголосовало: 778

Свойства коэффициента корреляции:

1. Коэффициент корреляции принимает значение на отрезке [-1, 1]. См. предыдущее св-во ковариации.

2. Если СВ независимы, их коэффициент корреляции равен нулю, rxy=0, т.к. Kxy=0. Из независимости СВ следует из некоррелированность. Обратное утверждение неверно: из некоррелированности СВ еще не следует их независимость.

3. Если коэффициент корреляции двух случайных величин равен (по абсолютной величине) единице, то между этими случайными величинами существует линейная функциональная зависимость.

Если

Постановка задачи:

Составить программу, которая реализует следующую функциональность:

1. Считать из файла случайные величины X и Y.

2. По данным варианта построить поле корреляции и по форме поля корреляции сделать вывод о существовании и виде зависимости.

3. Для определения тесноты корреляционной связи и близости ее к функциональной линейной или нелинейной зависимости используют коэффициент корреляции 4.2:

(3.2)

коэффициент корреляции r зависит от разброса точек и их числа. При отсутствии линейной связи r близок к нулю. При наличии точной функциональной зависимости r = 1. Обычно тесноту связи считают удовлетворительной при r ≥ 0,5.

Для удобства вычислений можно составить таблицу вычислений (табл. 3.1).

Таблица 3.1 Расчет коэффициентов при неизвестных системы уравнений.

xi yi xi*yi xi2 yi2
           
           
 

4. Определить параметры уравнения регрессии: для определения значений коэффициентов используют метод наименьших квадратов 3.3.

(3.3)

5. Оценить параметры криволинейной регрессии. Для этого можно использовать замену переменных. Вид нелинейной связи определить самостоятельно. Также возможно рассчитать параметры параболической регрессии.

6. Оценить полученный результат. Для этого находятся значения ординат Yi по полученной зависимости и их отклонения от эмпирических данных. Результаты сводятся в табл. 3.2.

Таблица 3.2. Вычисление отклонений теоретических и эмпирических значений функции

xi yi Yi Yi — yi
         
         
       
N        

По данным табл. 3.2. определяем максимальное отклонение, сумму отрицательных и сумму положительных отклонений.

7. Определить тесноту связи между параметрами


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
59%
НЕТ
41%
Проголосовало: 778

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет