Лекция № 6

Тема: биномиальные коэффициенты

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Формула бинома Ньютона.

Свойства биномиальных коэффициентов:

2. следствия формулы числа сочетаний без повторений .

3. следствия формулы бинома Ньютона.

4. Разбиения на блоки. Полиномиальная формула.

5. Перестановки с повторениями.

Краткое содержание лекционного материала

1. Формула бинома Ньютона. Бином Ньютона (1+ x) ⁿ, после раскрытия скобок и приведения подобных, преобразуется в многочлен канонического вида a ₀xⁿ + a ₁x^{n —1}+…+ a_{n —1}x ¹+ a_nx ⁰, где a ₀=1, a_n =1, x ⁰=1. Оказывается, что , где i =0,1,…, n. Поэтому числа сочетаний называются также биномиальными коэффициентами. Применятся обозначение: . Формула в следующей теореме называется формулой бинома Ньютона или биномом Ньютона.

Теорема 1. .

Доказательство. . Раскроем скобки и приведем подобные: в полученном многочлене коэффициент при степени xⁱ равен сумме i единиц и n -i нулей. Число всевозможных выборов i единиц из общего числа выборов n равно .

2. Свойства биномиальных коэффициентов как следствия формулы числа сочетаний без повторений. Используя формулу теоремы 5 лекции №5, можно доказать свойства биномиальных коэффициентов, которые мы приведем в следующей теореме.

Теорема 2. , , .

Доказательство. . .

.

Задача 1. Найти все биномиальные коэффициенты для .

Решение запишем в виде треугольника Паскаля – бесконечной таблицы, имеющей треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы, так как . Каждое внутреннее число равно сумме двух расположенных над ним чисел: . Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси: .

Биномиальный коэффициент лежит на пересечении строки n и столбца m.

m n

3. Свойства биномиальных коэффициентов как следствия формулы бинома Ньютона. Используя формулу теоремы 1, можно доказать свойства биномиальных коэффициентов, которые мы приведем в следующей теореме.

Теорема 3. Имеют место следующие тождества:

1) .

2) .

3) .

4) .

Доказательство. 1) В тождестве теоремы 1 подставим x =1.

2) В том же тождестве подставим x =-1.

3) Продифференцируем обе части того же тождества по x:

.

Затем подставим x =1.

4) Проинтегрируем обе части того же тождества по x от 0 до 1:

.

Получим: .

4. Разбиения на блоки. Полиномиальная формула. Разбиение n — множества на попарно непересекающиеся классы с известным набором чисел элементов классов называется разбиением на блоки длины , где 1£ n ₁, …, n_k £ n, а n ₁+…+ n_k = n.

Теорема 4. Пусть – число разбиений n -множества длины . Тогда .

Доказательство. Пусть множество разбито на блоки M ₁,…, M_k, такие, что | M ₁|= n ₁,…,| M_k |= n_k, 1£ n ₁,…, n_k £ n, n ₁+…+ n_k = n.

Элемент множества M ₁ можно выбрать способами, элемент множества M ₂ – способами, элемент множества M ₃ – способами и т.д. Применим правило произведения:

После сокращений получим: .

Докажем теорему о полиномиальной формуле.

Теорема 5. .

Доказательство. После раскрытия степени, подсчитываем число одночленов вида . Их столько же, сколько будет разбиений множества множителей степени на подмножества, содержащие соответственно и имеющие мощность . Потому коэффициент при одночлене равен .

Формула, доказываемая в теореме 4, называется полиномиальной (или формулой полинома Ньютона).

Задача 2. Найти коэффициент одночлена cx ²y ³z в многочлене, получаемом из степени после раскрытия скобок и приведения подобных.

Решение. В силу теоремы 9,

.

Ответ: .