X-PDF

Лекция № 6

Поделиться статьей

Тема: биномиальные коэффициенты

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Формула бинома Ньютона.

Свойства биномиальных коэффициентов:

2. следствия формулы числа сочетаний без повторений .

3. следствия формулы бинома Ньютона.

4. Разбиения на блоки. Полиномиальная формула.

5. Перестановки с повторениями.

Краткое содержание лекционного материала

1. Формула бинома Ньютона. Бином Ньютона (1+ x) n, после раскрытия скобок и приведения подобных, преобразуется в многочлен канонического вида a 0xn + a 1xn 1+…+ an 1x 1+ anx 0, где a 0=1, an =1, x 0=1. Оказывается, что , где i =0,1,…, n. Поэтому числа сочетаний называются также биномиальными коэффициентами. Применятся обозначение: . Формула в следующей теореме называется формулой бинома Ньютона или биномом Ньютона.

Теорема 1. .

Доказательство. . Раскроем скобки и приведем подобные: в полученном многочлене коэффициент при степени xi равен сумме i единиц и n -i нулей. Число всевозможных выборов i единиц из общего числа выборов n равно .

2. Свойства биномиальных коэффициентов как следствия формулы числа сочетаний без повторений. Используя формулу теоремы 5 лекции №5, можно доказать свойства биномиальных коэффициентов, которые мы приведем в следующей теореме.

Теорема 2. , , .

Доказательство. . .

.

Задача 1. Найти все биномиальные коэффициенты для .

Решение запишем в виде треугольника Паскаля – бесконечной таблицы, имеющей треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы, так как . Каждое внутреннее число равно сумме двух расположенных над ним чисел: . Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси: .

Биномиальный коэффициент лежит на пересечении строки n и столбца m.

m n                      
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       

3. Свойства биномиальных коэффициентов как следствия формулы бинома Ньютона. Используя формулу теоремы 1, можно доказать свойства биномиальных коэффициентов, которые мы приведем в следующей теореме.

Теорема 3. Имеют место следующие тождества:

1) .

2) .

Представленная информация была полезной?
ДА
58.94%
НЕТ
41.06%
Проголосовало: 777

3) .

4) .


Доказательство. 1) В тождестве теоремы 1 подставим x =1.

2) В том же тождестве подставим x =-1.

3) Продифференцируем обе части того же тождества по x:

.

Затем подставим x =1.

4) Проинтегрируем обе части того же тождества по x от 0 до 1:

.

Получим: .

4. Разбиения на блоки. Полиномиальная формула. Разбиение n — множества на попарно непересекающиеся классы с известным набором чисел элементов классов называется разбиением на блоки длины , где 1£ n 1, …, nk £ n, а n 1+…+ nk = n.

Теорема 4. Пусть – число разбиений n -множества длины . Тогда .

Доказательство. Пусть множество разбито на блоки M 1,…, Mk, такие, что | M 1|= n 1,…,| Mk |= nk, 1£ n 1,…, nk £ n, n 1+…+ nk = n.

Элемент множества M 1 можно выбрать способами, элемент множества M 2способами, элемент множества M 3способами и т.д. Применим правило произведения:

После сокращений получим: .

Докажем теорему о полиномиальной формуле.

Теорема 5. .

Доказательство. После раскрытия степени, подсчитываем число одночленов вида . Их столько же, сколько будет разбиений множества множителей степени на подмножества, содержащие соответственно и имеющие мощность . Потому коэффициент при одночлене равен .

Формула, доказываемая в теореме 4, называется полиномиальной (или формулой полинома Ньютона).

Задача 2. Найти коэффициент одночлена cx 2y 3z в многочлене, получаемом из степени после раскрытия скобок и приведения подобных.

Решение. В силу теоремы 9,

.

Ответ: .


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.94%
НЕТ
41.06%
Проголосовало: 777

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет