X-PDF

Лекция по математике на тему : Системы показательных уравнений

Поделиться статьей

Показательные уравнения. Системы показательных уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

·        простейшие показательные уравнения;

·        решение показательных уравнений: замена переменной, разложениена множители;

·        однородные показательные уравнения;

·        графический метод решения показательных уравнений;

·        системы показательных уравнений и их решение.

Глоссарий по теме

Уравнения вида https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/ac127d3c-a7e8-41a5-b841-d7f7bc952f97.pnghttps://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/940eadc6-ef3d-4bee-90f5-15bf72229cec.png называются простейшимипоказательными уравнениями.

Теорема — основа метода замены переменной

Уравнение https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/f3aacec5-e0d8-411a-9657-53c0b28c037e.png равносильнона ОДЗ совокупности уравнений

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/16501efc-6e56-4252-8a1c-0a04ac6d9735.png.

Однородным показательным уравнением называетсяуравнение вида:

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/73afc38b-a010-42c7-a927-7a54069d3ed3.png

Здесь f и g функции вида: https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/cbbd71f9-e222-4b2a-9b6b-2652ee04d63d.pnghttps://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/48a75ec4-cbdc-4198-829f-a37b585375cc.png коэффициенты.

Основная и дополнительная:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред.Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. дляобщеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.:Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс. 216220,223-230.

Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра иматематический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов суглубл. изуч. математики — 4-е изд. — М.: Просвещение, 1995. — 288 с.: ил. -ISBN 5-09-0066565-9, сс. 70-74.

Открытые электронные ресурсы:

https://ege.sdamgia.ru/ -решу ЕГЭ образовательный портал

http://fcior.edu.ru/ -Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов

http://school-collection.edu.ru/ -Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Рассмотрим показательные уравнения.

Показательным называется уравнение, вкотором переменная входит только в показатели степеней, при заданном основании.

Уравнения вида https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/c375796a-731a-4142-9a9b-209ddc203a12.pnghttps://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/79dc5d8d-204f-4e7c-932c-b9f2117107e7.png называются простейшимипоказательными уравнениями.

В самом простом случае уравнение принимает вид: https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/532b38ab-1d61-49f4-9625-fb08b5c22604.png.

Так как множество значений показательной функции https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/85ff4c9d-1a1f-47bc-95d8-bae7b52bf1ee.png -множество положительных чисел, то при https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/088ca56b-029c-494d-95ed-915c88ce78dc.png уравнениерешений не имеет.

Теперь рассмотрим случай b>0.

Вспомним, что показательная функция при a>1 монотонновозрастает и принимает все положительные значения, каждое ровно один раз. Вслучае 0<a<1 показательная функция монотонно убывает и также принимаетвсе положительные значения, каждое ровно один раз.

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/0bc9adba-b123-4ea9-82a5-3bbdcbb16dba.png

Рисунок 1 – иллюстрация решения простейшего показательногоуравнения https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/8c7035b1-33c8-4d6e-ad01-1c7fc007c1ab.pnga>1.

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/28b6d229-c090-413f-bd31-49346d8254df.png

Рисунок 2 – иллюстрация решения простейшего показательногоуравнения https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/9eb293d4-9c87-40a5-9dae-9523c71f7466.png0<a<1.

Для того чтобы решить простейшее показательное уравнение https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/1501a366-8e90-4289-a4b3-18d67c19420e.png https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/ac29eeb7-e828-4912-8146-6139fef828ce.png,нужно число представить в виде степени числа a.

Рассмотрим пример: https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/af3bfa4a-acd3-4118-ada1-bb336c0c74e0.png.

Представим https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/5c38fbd1-1526-4165-a6fa-bab700e6d813.png ввиде степени числа 13: https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/4a47291e-4f0d-49a0-a4c6-46173270bf1d.png.

Теперь перепишем данное уравнение в виде: https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/5992fdcb-c176-4e08-9ef1-3e876fc8ff9e.png,поэтому x=2/5.

Ответ: x=2/5.

2. Теперь перейдем к решению более сложных показательныхуравнений.

2.1. Рассмотрим уравнение вида:

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/01b6eeee-c86f-41a8-a849-aa781e99e9ee.png.

То есть мы видим, что левая часть этого уравнения представляетсобой сумму, слагаемые которого отличаются коэффициентами https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/72d917f2-69ec-442c-ae07-7885db38bc51.png ипоказатели степеней с одинаковыми основаниям отличаются слагаемыми https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/2175120d-e9b8-43a2-8a70-11e2d9871e81.png.

Для решения таких уравнений левую часть преобразуют следующимобразом: выносят за скобку степень https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/978a93a4-19b6-4ea8-a906-890dc245e280.png (часто,чтобы избежать дробных коэффициентов, выносят степень с наименьшимпоказателем):

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/c5028094-ee68-4033-a2df-e0191e82bb9d.png

Мы видим, что выражение в скобках представляет собой число.

Поэтому выразим https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/3ae4eaff-6d10-4d13-9e5d-b869ea2c6c5d.png ирешим простейшее показательное уравнение.

Рассмотрим пример:

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/42fdbb94-7c34-4018-bc7f-d928f33806be.png.

Решение:

Преобразуем левую часть и вынесем за скобку https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/db0736d8-baa3-4e46-bcf6-897c12837891.png:

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/4f3e1957-09b9-43aa-8056-945fd1ff69eb.png

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/c9af635f-6170-4ce9-b381-862f91b27ac7.png

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/90895ffc-a865-401a-a352-680d33c3723f.png

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/8d70c0cc-092b-4c79-8d33-713967489437.png

x-1=0

x=1

Ответ: x=1.

2.2. Рассмотрим еще одно уравнение, которое решается с помощьювынесения за скобку общего множителя.

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/374fe687-ff01-464d-aa8c-a5c93e1fff9b.png.

Решение:

Преобразуем уравнение: перенесем степени с одинаковымиоснованиями в одну часть:

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/3318472f-1053-4c4f-be21-f0475fbe1404.png,

Вынесем за скобку множители с одинаковыми показателями:

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/926c3dbb-e45a-4310-9789-f712c51a71e8.pnghttps://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/0db3a439-1ab7-42f5-8587-c7e257f9af54.png.

Теперь преобразуем полученное уравнение к виду: https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/4cef5a58-46d0-42d7-8b9a-d78ace0d6ad1.png.Для этого разделим обе части уравнения на https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/26b5bfe6-f131-4f39-a45e-235ca33b6a6a.png ина 3:

Представленная информация была полезной?
ДА
58.69%
НЕТ
41.31%
Проголосовало: 990

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/37215e5e-f97e-42a0-a85e-53c0548885c3.png.

x-0,5=1

x=1,5.

Ответ: x=1,5.

2.3. Еще один вид показательных уравнений – уравнения,сводящиеся к квадратным:

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/f3158ac7-3b31-4b99-abd7-2415e90ec095.png.

В этом случае вводят новую переменную: https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/9d0c897c-ee2c-418f-9561-2283a5b8103d.png.Получим вспомогательное уравнение: https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/601ef60e-e13c-4331-84fb-94dad66d841c.png.

После решения этого уравнения получим простейшие показательныеуравнения.

Рассмотрим пример:

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/461e4f8e-5446-4df4-8256-422203815c8f.png.

Решение:

Введем новую переменную: https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/7b5f56fc-f4fa-4ae0-94c2-093379b9983e.png.

Запишем вспомогательное уравнение: https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/764a3b93-f34e-4a43-95a5-c5fb232721c1.png.

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/7ee1ba12-d82e-432b-a790-95639c025c77.png .Вернемся к переменной х:

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/624cd7dc-eec6-4a3c-b2b5-01bbc3fbdea6.png , https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/8e14eeb6-3cf5-4238-8767-51d57e043e3a.png .

Ответ: https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/b2583a18-b895-4ab3-8b9a-5230ba27243d.png

2.4. Еще один вид уравнений, который сведется к решениюквадратного или уравнения третей степени, это однородное уравнение.

Однородным показательным уравнением называетсяуравнение вида:

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/f6808656-ff7f-4f03-a4e2-16ef85894e2a.png

Здесь f и g функции вида: https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/b59f998a-9363-4aed-a835-44076cc98708.pnghttps://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/622bb675-f19c-4de3-b4f2-7f2a0015bb32.png коэффициенты.

Однородные показательные уравнения решаются делением на https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/5ff35582-484b-4ff2-b394-9b74196be346.png илина https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/6a4b4279-d120-4c39-b4a6-bb0fa7166af2.png ипоследующей заменой: https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/de6010e1-8153-4293-aaa0-4ec35ed3417c.png.

Рассмотрим пример:

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/7f9eba84-c95e-4e91-b1de-833a08a58d14.png.

Решение:

Заметим, что https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/cbebc460-c911-4489-a434-cfd1def492e3.pnghttps://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/1f43ea19-d127-4081-b8e5-c647a2ae4109.pnghttps://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/9d2c05e0-ee74-406b-bc42-836bf521e5f2.png.То есть уравнение можно записать в виде:

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/720b595b-2655-4d4f-bcea-b2a10265c90c.png.

Разделим уравнение на https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/78531658-372e-4392-be4b-344e03cddff9.png,получим уравнение: https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/4b776a29-5882-499c-baf0-627a257110df.png.Теперь введем новую переменную: https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/3c114291-b034-4f6f-a2eb-6b5dcbefc975.pngиполучим вспомогательное уравнение:

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/9a2f0145-e4bc-42d7-8042-b9196e1d9b0f.pngрешимего:

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/4fd03307-c51e-46ec-94f2-7293529423dc.png .

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/ac0bc8db-0491-4a40-a0d5-b6de2c38c54c.png , https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/942a6865-29db-413f-9904-e44d4238e1e4.png.

Ответ: https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/f4df3387-9b5b-477e-ad95-e15c1699d719.png.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Решите уравнение: https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/7b0a0bd7-9e65-4e1c-b1d1-d3b2ce120392.png

Решение: Запишем уравнение в виде:

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/25060f66-3ed3-4001-ad03-c3253f28b562.png

Таким образом, уравнение является однородным относительнофункций: https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/38aeb9cf-afe3-4038-a469-5a4a49bfb35f.png и https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/1ae7f4cc-ae61-4afa-82e1-fe18def35772.png.

Разделим уравнение на https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/4672898b-6dbe-4dfd-910d-1d9b29b26b1a.png иполучим:

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/88c32aec-e143-4a89-bf9c-d6ea4cb3d655.png.

Введем новую переменную: https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/f17b54dd-ffdc-464e-a0b4-a8c8cdd42884.png.

Вспомогательное уравнение:

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/70f365aa-86b3-4d3a-9d8a-056b086a1465.png

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/ad1004e8-2565-4765-962b-62c331725484.png

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/0c712a14-a229-4dc9-ab75-360d22aafcfa.png

Вернемся к исходной переменной:

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/833ca119-f7d6-4833-bb63-3a9363821280.png

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/f1e5fb11-e85d-4ad2-b028-54a24b347493.png

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/c982d617-8d7f-419c-92ea-735fe08ea644.png .

Ответ: https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/2451908d-52c9-4d1b-85cb-f744e3843960.png .

Пример 2.

Решите систему: https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/5b8269e9-a79a-41d8-b7a5-eeee3d514553.png

Решение: Введем новые переменные: https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/d7443879-8498-47ab-adb8-3ab16db7248b.png.

Рассмотрим вспомогательную систему:

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/ca8c27f4-6f41-46ab-a061-7e5cd91b2d91.png.

Возведем второе уравнение в квадрат:

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/d6d5f4b9-a156-42e8-98ab-f281d027fb7a.png.Решим полученную систему относительно https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/d8d789d3-8f92-4777-84d5-141a869c7218.png и https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/0e303326-0157-4ba5-9540-c21e0839dcef.png .

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/2cbf0f91-c28c-4b54-99cf-127e84672313.png или https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/86e9b758-05a3-4b93-afb2-4b73d6813d33.png.

Так как https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/5f9cc13e-4129-443e-b5d4-233bfa4b48fa.png,то есть положительные, то

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/6c1857d2-2e28-472b-b190-d97c9d0cb67c.png или https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/b90495fe-6fd8-45d5-b044-48bccc3d7a50.png.

Вернемся к исходным переменным.

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/b53a4a4b-4548-4158-97c5-973cbe5433eb.png или https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/2dfab405-e745-4d44-a704-b6b97bad9c3b.png.

Отсюда:

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/4d6f9b79-d07c-46dd-a0ad-5588c2ebc2c0.png или https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5627/20190430143711/OEBPS/objects/c_matan_10_22_1/f19418d4-4cf1-416b-bae1-61e898f2868c.png.

Ответ: (1/6; 1/4); (1/4; 1/6)

 


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.69%
НЕТ
41.31%
Проголосовало: 990

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет