Определение: Система функций — называется линейно независимой, если линейная комбинация
коэффициенты
.
Определение: Систему функций — называют линейно зависимой, если
и есть коэффициенты
.
Возьмём систему двух линейно зависимых функций
т.к
или
— условие линейной независимости двух функций.
Примеры:
1)линейно независимы
2)линейно зависимы
3)линейно зависимы
Определение: Дана система функций — функций переменной х.
Определитель — определитель Вронского для системы функций
.
Для системы двух функций определитель Вронского выглядит следующим образом:
Свойства определителя Вронского:
1) Если — линейно зависимы на [a .b]
на этом отрезке.
2) Если — линейно независимые, решения дифференциального уравнения
при любых значениях х в области, где определены функции а1…аn
Теорема: Об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка.
Если y1 и y2 – линейно независимые решения линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка, то
общее решение имеет вид:
Доказательство: — решение по следствию из Т1 и Т2.
Если даны начальные условия то и
должны находится однозначно.
— начальные условия.
Составим систему для нахождения и
. Для этого подставим начальные условия в общее решение.
определитель этой системы: — определитель Вронского, вычисленный в точке х0
т.к и
линейно независимы
(по 20)
т.к определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение и и
находятся из системы однозначно.
![Анастасия](/wp-content/uploads/2023/11/expert.webp)