X-PDF

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Поделиться статьей

Мы убедились, что, в случае когда известно общее решение линейного однородного уравнения, можно по методу вариации произвольных постоян­ных найти общее решение неоднородного уравнения. Однако вопрос о том, как найти общее решение однородного уравнения, остался открытым. В частном случае, когда в линейном дифференциальном уравнении (3) все коэффициенты рi (х) = аi − константы, он решается достаточно просто, даже без интегрирования.

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, т. е. уравнения вида

y (n)+ а 1y (n – 1)+… аn – 1y + аny = 0, (14)

где аi − константы (i = 1, 2,…, n).

Как известно, для линейного однородного уравнения 1-го порядка реше­нием является функция вида е kx. Будем искать решение уравнения (14) в виде j (х) = е kx.

Подставим в уравнение (14) функцию j (х) и ее производные порядка m (1 ≤ mn) j (m)(х) = kmе kx. Получим

(kn + а 1kn – 1+… аn – 1k + аn) е kx = 0,

но е ≠ 0 при любом х, поэтому

kn + а 1kn – 1+… аn – 1k + аn = 0. (15)

Уравнение (15) называется характеристическим уравнением, многочлен, стоящий в левой части, − характеристическим многочленом, его корни − характеристическими корнями дифференциального уравнения (14).

Вывод: функция j (х) = е kx − решение линейного однородного уравне­ния (14) тогда и только тогда, когда число k − корень характеристического уравнения (15).

Таким образом, процесс решения линейного однородного уравнения (14) сводится к решению алгебраического уравнения (15).

Возможны различные случаи характеристических корней.

1. Все корни характеристического уравнения действительные и различные.

В этом случае n различным характеристическим корням k 1, k 2, …, kn со­от­ветствует n различныx решений однородного уравнения (14)

Можно показать, что эти решения линейно независимы, следовательно, образуют фундаментальную систему решений. Таким образом, общим реше­нием уравнения является функция

где С 1, C 2,…, Сn − произвольные константы.

Пример 7. Найти общее решение линейного однородного уравнения:

а) у ′′(х) − 6 у ′(х) + 8 у (х) = 0,

б) у ′′′(х) + 2 у ′′(х) − 3 у ′(х) = 0.

Решение. Составим характеристическое уравнение. Для этого заменим произ­вод­ную порядка m функции y (x) на соответствующую степень

k (у (m)(x) ↔ km),

при этом сама функция у (х) как производная нулевого порядка заменяется на k 0 = 1.

В случае (а) характеристическое уравнение имеет вид k 2− 6 k + 8 = 0. Корни этого квадратного уравнения k 1= 2, k 2= 4. Так как они действительные и различные, то общее решение имеет вид j (х) = С 1е 2 х + С2е 4 х .

Для случая (б) характеристическим уравнением является уравнение 3-й степени k 3+ 2 k 2 − 3 k = 0. Найдем корни этого уравнения:

k (k 2+ 2 k − 3) = 0 ⇒ k = 0 и k 2+ 2 k − 3 = 0 ⇒ k = 0, (k − 1)(k + 3) = 0,

т. е. k 1= 0, k 2= 1, k 3= −3.

Этим характеристическим корням соответствует фундаментальная сис­те­ма решений дифференциального уравнения:

j1(х) = е 0 х = 1, j2(х) = е х, j3(х) = е −3 х .

Общим решением, согласно формуле (9), является функция

II. Все корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные.

Все коэффициенты дифференциального уравнения (14), а следовательно, и его характеристического уравнения (15) − действительные числа, значит, если cреди характеристических корней есть комплексный корень k 1= а + ib, то есть и сопряженный ему корень k 2= аib. Первому корню k 1 соответст­вует решение дифференциального уравнения (14)

j1(х) = е (a + ib) х = ееibх = е (cosbx + isinbx)

(воспользовались формулой Эйлера е = cosx + isinx). Аналогично, корню k 2= аib соответствует решение

j2(х) = е (a — ib) х = е е ibх = е (cosbxisinbx).

Данные решения являются комплексными. Чтобы получить из них действии­тельные решения, воспользуемся свойствами решений линейного однородного уравнения. Функции

являются действительными решениями уравнения (14). Кроме того, эти реше­ния линейно независимы Таким образом, можно сделать следующий вывод.

Правило 1. Паре сопряженных комплексных корней а ± ib характерис­ти­ческого уравнения в ФСР линейного однородного уравнения (14) соответ­ст­вует два действительных частных решения

П р и м е р 8. Найти общее решение уравнения:

а) у ′′(х) − 2 у ′(х) + 5 у (х) = 0 .

б) у ′′′(х) − у ′′(х) + 4 у ′(х) − 4 у (х) = 0.

Решение. В случае уравнения (а) корнями характеристического уравне­ния k 2 − 2 k + 5 = 0 являются два сопряженных комплексных числа

k 1, 2=

Представленная информация была полезной?
ДА
58.51%
НЕТ
41.49%
Проголосовало: 981

Следовательно, им, согласно правилу 1, соответствует два действительных линейно независимых решения: а общим решением уравнения является функция

j (х) = С 1ехcos 2 x + С 2ехsin 2 x.

В случае (б), чтобы найти корни характеристического уравнения k 3k 2+ 4 k − 4 = 0, разложим на множители его левую часть:

k 2(k − 1) + 4(k − 1) = 0 ⇒ (k − 1)(k 2 + 4) = 0 ⇒ (k − 1) = 0, (k 2 + 4) = 0.

Следовательно, имеем три характеристических корня: k 1= 1, k 2, 3= ± 2 i. Корню k 1 соответствует решение , а паре сопряженных комплекс­ных корней k 2, 3= ± 2 i = 0 ± 2 i − два действительных решения:

и .

Составляем общее решение уравнения:

j (х) = С 1ех + С 2cos 2 x + С 3sin 2 x.

III. Cреди корней характеристического уравнения есть кратные.

Пусть k 1 − действительный корень кратности m характеристического уравнения (15), т. е. среди корней есть m равных корней. Каждому из них соответствует одно и то же решение дифференциального уравнения (14) . Однако включить m равных решений в ФСР нельзя, так как они составляют линейно зависимую систему функций. Можно показать, что в слу­чае кратного корня k 1решениями уравнения (14), кроме функции являются функции

Функции j 1(х), j 2(х), …, jm (х) линейно независимы на всей числовой оси, т.к.

,

т. е. их можно включить в ФСР.

Правило 2. Действительному характеристическому корню k 1 кратнос­ти m в ФСР соответствует m решений:

Если k 1 − комплексный корень кратности m характеристического уравне­ния (15), то существует сопряженный ему корень кратности m. По аналогии получаем следующее правило.

Правило 3. Паре сопряженных комплексных корней a ± ib в ФСР соот­ветствует 2m действительных линейно независимых решений:

П р и м е р 9. Найти общее решение уравнения:

а) у ′′′(х) + 3 у ′′(х) + 3 у ′(х) + у (х)= 0 .

б) уIV (х) + 6 у ′′ (х) + 9 у (х) = 0.

Решение. В случае (а) характеристическое уравнение имеет вид

k 3+ 3 k 2+ 3 k + 1 = 0

или

(k + 1)3= 0,

т. е. k = −1 − корень кратности 3. На основании правила 2 записываем общее решение:

j(х) = С 1 + С 2 e x + С 3 x 2e x.

Характеристическим уравнением в случае (б) является уравнение

k 4+ 6 k 2+ 9 = 0

или, иначе,

Имеем пару сопряженных комплексных корней, каждый из которых кратности 2. Согласно правилу 3 общее решение записывается в виде

j (х) = С 1cos x+ С 2xcos x+ С 3sin x+ С 4xsin x.

Из сказанного выше следует, что для любого линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами можно найти фундаментальную систему решений и составить общее решение. Следовательно, решение соот­ветствующего неоднородного уравнения при любой непрерывной функции f (x) в правой части можно найти, используя метод вариации произвольных постоянных.

Пример 10. Методом вариации найти общее решение неоднородного уравнения у ′′(х) − у ′(х) − 6 у (х) = x e 2 x .

Решение. Сначала найдем общее решение соответствующего однород­ного уравнения у ′′(х) − у ′(х) − 6 у (х) = 0. Корнями характеристического урав­нения k 2k − 6 = 0 являются k 1= 3, k 2= −2, а общим решением однородного уравнения − функция = С 1е 3 х + С 2е −2 х .

Будем искать решение неоднородного уравнения в виде

у (х) = С 1(х) е 3 х + С 2(х) е −2 х . (*)

Найдем определитель Вронского

W [ е 3 х , е −2 х ] =

Составим систему уравнений (12) относительно производных неизвестных функций С1(х) и С2(х):

Решая систему по формулам Крамера, получим

Интегрируя, найдем С 1(х) и С 2(х):

Подставляя функции С 1(х) и С 2(х) в равенство (*), получим общее решение уравнения у ′′(х) − у ′(х) − 6 у (х) = x e 2 x :


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.51%
НЕТ
41.49%
Проголосовало: 981

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет