Систему уравнений с несколькими неизвестными наиболее часто решают:
− методом подстановки .
− методом сложения .
− графическим методом .
− методом введения новых переменных.
Метод подстановки.
При решении системы методом подстановки пользуясь одним уравнением системы, выражают одну из переменных системы через другие переменные, и заменяют в остальных уравнениях эту переменную полученным выражением. При этом получают систему уравнений равносильную данной системе.
Уравнение приводят к виду
вводят новую переменную
решают уравнение
затем решают совокупность уравнений
, где
– корни уравнения
Решим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными где
– неизвестные .
– коэффициенты при неизвестных,
– свободные члены, в общем виде.
Из одного уравнения выразим одно из неизвестных, например , через коэффициенты и другое неизвестное
:
и подставим во второе уравнение вместо
:
.
Решая последнее уравнение, находим :
Подставим это значение вместо в выражение
:
|
|
Таким образом, способ подстановки решения системы двух уравнений с двумя неизвестными заключается в следующем:
− выражают одну переменную через другую в одном из уравнений системы .
− это выражение подставляют в другое уравнение системы, и в результате получают уравнение с одной переменной .
− в уравнении с одной переменной находят корень .
− подставив найденный корень, получают значение другой переменной .
− записывают ответ.
Пример. Решим систему методом подстановки:
Решение. Из первого уравнения системы выразим переменную
через
, получим
Подставив это выражение во второе уравнение системы, имеем:
Система уравнений равносильна системе
Из уравнения
найдем
Отсюда,
Подставив теперь найденное значение в выражение
получим:
Ответ.
Пример. Решим систему методом подстановки:
Решение. Из второго уравнения системы выразим через
, получим
Подставив это выражение в первое уравнение системы, имеем:
Из данного уравнения найдем
Подставив
в выражение
, найдем
Решение системы: (4 .1).
Ответ. (4 .1).
Метод алгебраического сложения (вычитания).
Решим систему двух уравнений с двумя неизвестными где
– неизвестные .
– коэффициенты при неизвестных,
– свободные члены, методом алгебраического сложения в общем виде.
Умножим обе части 1-го уравнения системы на (– ), а обе части 2-го уравнения на
и сложим их:
Отсюда получим:
Подставим найденное значение вместо в любое уравнение системы
находим второе неизвестное:
Таким образом, метод алгебраического сложения (вычитания) заключается в следующем:
− почленно складывают уравнения системы, предварительно умножив их на некоторые множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами .
|
|
− находят корень полученного уравнения с одной переменной .
− подставляют найденное значение в любое уравнение системы и находят соответствующее значение другой переменной .
− записывают ответ.
Пример. Решим систему уравнений:
Решение. Решим систему способом сложения:
.
Подставим значение переменной в первое (или второе) уравнение системы:
Пара (2 . 2, 75) – решение системы.
Ответ. (2 . 2,75).
Пример. Решим систему уравнений способом сложения:
Решение. Решим систему способом сложения. Для этого умножим второе уравнение системы на 2 и сложим почленно уравнения системы:
Найдем значения переменной ,
Найдем значения переменной
, для этого найденное значение
подставим в любое уравнение исходной (первоначальной) системы, получим:
Ответ.
![Анастасия](/wp-content/uploads/2023/11/expert.webp)