X-PDF

Неравенства с одной переменной

Поделиться статьей

Предложения 2х+7&gt .10-х, х2+7х&lt .2, (х+2)(2х-3)&gt . 0 называют неравенствами с одной переменной.

В общем виде это понятие определяют так:

Определение. Пусть f(х) и q(х) — два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда неравенство вида f(х) &lt . q(х) или f(х) &gt . q(х) называется неравенством с одной переменной. Мно­жество Х называется областью его определения.

Значение переменной х из множества X, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением. Решить неравенство — это значит найти множество его решений.

Так, решением неравенства 2 х +7&gt .10- х, х Î R является число х=5, так как 2×5+7&gt .10-5- истинное числовое неравенство. А множест­во его решений — это промежуток (1, ¥), который находят, выполняя преобразование неравенства: 2х+7&gt .10-х Þ 3х&gt . Þ х&gt .1.

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.

Определение. Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.

Например, неравенства 2х+7&gt .10 и 2х&gt .3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток

Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогичны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используется свойства истинных числовых неравенств.

Теорема 3. Пусть неравенство f(х) &gt . q(х) задано на множестве Х и h(х) — выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенст­ва f(х) &gt . q(х) и f(х)+ h(х) &gt . q(х)+ h(х) равносильны на множестве X.

Представленная информация была полезной?
ДА
58.65%
НЕТ
41.35%
Проголосовало: 989

Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств:

1) Если к обеим частям неравенства f(х) &gt . q(х) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(х)+ d &gt . q(х)+ d, равносильное исходному.

2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 4. Пусть неравенство f(х) &gt . q(х) задано на множестве Х и h(х) — выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества Х выражение h(х) принимает положительные значения. Тогда неравенства f(х)× h(х) &gt . q(х)× h(х) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) &gt . q(х)умножить на одно и то же положительное число d, то по­лучим неравенство f(х) × d &gt . q(х) × d, равносильное данному.

Теорема 5. Пусть неравенство f(х) &gt . q(х) задано на множестве Х и h(х) — выражение, определенное на том же множестве, и для всех х их множества Х выражение h(х) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f(х) &gt . q(х) b f(х)× h(х) &lt . q(х)× h(х) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) &gt . q(х) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(х)× d &lt . q(х) × d, равносильное данному.

Решим неравенство 5х — 5 &lt . — 16, х Î R,и обоснуем все преоб­разования, которые мы будем выполнять в процессе решения.

Преобразования Обоснование преобразований
1. Перенесем выражение 2х в левую часть, а число – 5 в правую, поменяв их знаки на противоположные: 5х – 2х &lt . 16 + 5 Воспользовались следствием 2 из теоремы 3, получили неравенство, равносильное исходному.
2. Приведем подобные члены в левой и правой частях неравенства: 3х &lt . 21. Выполнили тождественные преобразования выражений в левой и правой частях неравенства – они не нарушили равносильности неравенств: данного и исходного.
3. Разделим обе части неравенства на 3: х &lt . 7. Воспользовались следствием из теоремы 4, получили неравенство, равносильное исходному.

Решением неравенства х &lt . 7 является промежуток (- ¥, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства — 5 &lt . 1х + 16 яв­ляется промежуток (- ¥, 7).


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.65%
НЕТ
41.35%
Проголосовало: 989

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет