X-PDF

Основные свойства преобразования Лапласа

Поделиться статьей

1. Теорема единственности. Оригинал f (t) вполне определяется своим изображением F (p) с точностью до значений в точках разрыва функции f (t).

Из теоремы следует, что если два изображения F (р) и Φ (р) совпадают, то совпадают между собой и соответствующие им оригиналы во всех точках, за исключением точек разрыва. То есть, если

F (p) f (t), Ф (p) φ (t) и F (p) ≡ Ф (p), то f (t) ≡ φ (t)

во всех точках непрерывности f (t).

2. Теорема линейности. Если f (t) F (p), g (t) G (p) для любых действительных или комплексных постоянных с 1 и с 2, то

с 1f (t) + с 2g (t) с 1 F (p) + с 2 G (p), Re p &gt . s 0(k ) (k = 1,2),

т.е. линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений.

3. Теорема подобия. Если f (t) F (p), Re p &gt . s 0, то для любого числа а &gt . 0:

f (аt) = , Re p &gt . аs 0,

т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на то же число а.

4. Теорема запаздывания. Если f (t) F (p), Re p &gt . s 0, то для любого положительного числа τ

f (tτ) eрτF (p), Re p &gt . s 0.

5. Теорема о смещении изображения (затухания). Если f (t) F (p), Re p &gt . s 0, то для любого действительного или комплексного числа α

eαtf (t) F (р – α), Re (р – α) &gt . s 0,

т.е. умножение оригинала на функцию eαt, влечёт за собой «смещение» переменной p.

6. Теорема дифференцирования оригинала. Если функции f (t), f ′(t), …, f (t)являются функциями-оригиналами, то

f ′(t) p F (p) – f (0),

f ″(t) p 2F (p) – pf( 0) – f ′(0),

f (t) p F (p) – p f (0) – p f ′(0) – … – f (0).

Величина f (0), k= 0, 1, …, n – 1, понимается как f (t).

7. Теорема об интегрировании оригинала. Если функция f (t) является оригиналом и f (t) F (p) (Re p &gt . s 0) то функция g (t) = также является оригиналом и

g (t) F (p), Re p &gt . s 0,

т.е. интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на p.

На основании определений оригинала и изображения и основных свойств преобразований Лапласа составлена таблица основных формул соответствия (таблица 8).

Представленная информация была полезной?
ДА
58.97%
НЕТ
41.03%
Проголосовало: 775

Таблица 8 – Таблица основных формул соответствия

Номер формулы Оригинал Изображение
   
  eαt
  sin ω t
  cos ω t
  sh ω t
  ch ω t
  eαtsin ω t
  eαt ∙cos ω t
  t
  tn
  tneαt
  tsin ω t
  tcos ω t
  tsh ω t
  tch ω t

Пример 1. Найти изображение функции

,

используя основные свойства (теоремы) преобразования Лапласа.

Решение. Найдем изображение каждого из слагаемых функции

.

Из таблиц соответствия известно, что

1 .

По теореме об интегрировании оригинала имеем

t 2.

Так как sin ω t , то sin 2 t . Тогда по теореме о смещении изображения (затухания) получим

e t sin 2 t .

Из таблицы соответствия

cos ω t .

Применяя теорему подобия, находим

cos 2 t .

Для нахождения изображения функции применим теорему о дифференцировании изображения. Получим

t ∙cos 2 t .

Далее, применяя теорему линейности преобразования Лапласа, получим

f (t) = 2 + t 2 + e t sin 2 t + t ∙cos 2 t = 2∙1 + t 2 + e t sin 2 t + t ∙cos 2 t

2∙ + + + .

Следовательно,

.

Ответ: .


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.97%
НЕТ
41.03%
Проголосовало: 775

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет