Пусть линейная САУ описывается уравнениями состояния:
, 
, 
, 
, 
. (8.27)
Рассмотрим матричный ряд, который обозначим через 
:
, (8.28)
где Е – единичная 
матрица.
Доказано, что этот ряд абсолютно сходится при любом t к некоторой 
матрице, обозначенной нами через 
(экспоненциал матрицы).
Свойства ряда (8.28):
1. При 
матрица 
.
2. 
, или в более общем виде 
.
3. 
, где 
– обратная матрица.
4. Если 
, то 
.
Рассмотрим однородное уравнение
, (8.29)
соответствующее неоднородному дифференциальному уравнению 
, и зададим начальное состояние вектора х (0) при t = 0.
Общее решение однородного уравнения (8.29) задается выражением
. (8.30)
Действительно, подставляя (8.30) в (8.29), с учетом свойства 2 получим тождество, справедливое при любом начальном значении х (0). Это значит, что (8.30) определяет общее решение уравнения (8.29).
Введем обозначение 
. Матрицу 
размерностью 
будем называть переходной матрицей состояния (в математике ей соответствует фундаментальная матрица), а выражение (8.30) в этом случае будем записывать в виде
|
|
|
. (8.31)
Выражение (8.31) можно трактовать как линейное преобразование (переход) начального значения вектора состояния х (0) в текущее значение x (t) в пространстве состояний.
Свойства переходной матрицы состояния:
1. 
.
2. 
.
3. 
.
Эти свойства следуют из общих свойств экспоненциала матрицы.
Если известна переходная матрица состояния, то общее решение неоднородного уравнения 
записывается в виде (формула Коши)
. (8.32)
В силу 
получим выражение для вычисления вектора выхода y (t):
. (8.33)
В (8.32), (8.33) первое слагаемое определяет свободную составляющую, обусловленную ненулевым начальным состоянием х (0), а второе – вынужденную составляющую, обусловленную входным сигналом 
.
Выражение (8.28) редко употребляется для определения матрицы 
, так как в случае произвольной матрицы А элементы матрицы 
представляют собой ряды Тейлора при t = 0, пo которым трудно найти исходную функцию в замкнутой форме.
Переходную матрицу состояния обычно находят с помощью операционного исчисления. Применим к (8.29) преобразование Лапласа, тогда получим 
, где 
. Из полученного выражения находим 
, 
, где 
– обратная матрица к матрице 
.
Переходя к оригиналам, имеем
. (8.34)
Сравнивая (8.34) с (8.31), приходим к выводу, что
. (8.35)
Каждый элемент матрицы 
есть дробно-рациональная функция переменной s. Знаменатель каждого элемента представляет собой полином n -й степени 
, а числитель – полином не выше (n – 1)-й степени. Полином 
называется характеристическим полиномом системы, а алгебраическое уравнение n -й степени
(8.36)
назовем характеристическим уравнением системы.
Применяя к каждому элементу матрицы 
обратное преобразование Лапласа, получим матрицу 
, элементами которой будут некоторые функции времени.
|
|
|
Переходную матрицу состояний можно найти, используя модальную матрицу M. Пусть в уравнении (8.29) матрица А имеет различные собственные значения 
. Тогда в (8.29) сделаем замену переменных 
, где М – модальная матрица. В результате получим: 
.
Общее решение полученной системы с диагональной матрицей будет таково: 
. Так как 
, 
, то общее решение исходного уравнения (8.29) запишется в виде 
.
Отсюда следует, что
. (8.37)
Пример 8.7. Рассмотрим однородное уравнение в нормальной форме:
.
Собственные числа матрицы А определяются из решения уравнения 
и будут 
, 
.
Ищем модальную матрицу М в виде (8.14):
, 
.
Находим 
в соответствии с (8.37):
.
Можно найти 
, используя (8.35). Находим 
и затем 
.
, 
.
Переходя от 
к оригиналам, найдем выражение для матрицы 
, не отличающееся от полученного ранее.
