X-PDF

Пересечение и прямая сумма пространств

Поделиться статьей

Определение 8.7. Пусть V 1 и V 2 – два линейных пространства. Пересечением этих пространств называется совокупность всех векторов x, принадлежащих как V 1, так и V 2, т. е.

= { x | x V 1 &amp . x V 2}.

Совокупность всех векторов вида y + z, где y V 1, z V 2, называется суммой пространств V 1 и V 2 и обозначается V 1 + V 2, т. е.

V 1 + V 2 = { y + z | y V 1, z V 2}.

Покажем, что образует линейное пространство, являющееся под-пространством как V 1, так и V 2. В самом деле, если x и y принадлежат , то они принадлежат и V 1, и V 2. Поэтому вектор x + y и вектор x, R, также принадлежат и V 1, и V 2, т. е. x + y и x .

Пример 12. Пусть V 1 – пространство всех векторов вида a = (x, 0, z), V 2 – пространство всех векторов вида b = (0, y, z). Тогда суммой этих пространств является множество векторов вида a + b = (x, у, 2 z), т. е. V 1 + V 2 = R 3. Пересечение пространств V 1 и V 2 есть множество векторов вида (0, 0, z), т. е. – множество всех векторов, параллельных оси Oz. ·

Определение 8.8. Подпространства V 1 и V 2 линейного пространства V называются дополнительными в V, если выполнены соотношения

V 1 + V 2 = V, = 0, 0 V.

В этом случае говорят, что пространство V представлено в виде прямой суммы подпространств V 1 и V 2.

Пример 13. В пространстве R 3 выделим плоскость Оху (рис. 8.1). Рассмотрим в R 3 линейное подпространство R 1 векторов вида z = (0, 0, z), направленных параллельно оси Oz. Векторы на плоскости R 2 имеют вид u = (x, у, 0). Общим вектором пространств R 1 и R 2 является, очевидно, нулевой вектор 0 = = (0, 0, 0). Пусть а = (x, у, z) – любой вектор из R 3.

 
 

Тогда a = (x, у, z) = (x, у, 0) + (0, 0, z) = u + z. Таким образом, R 3 можно представить в виде прямой суммы подпространств R 1 и R 2. ·

Теоремa 8.4. Для того чтобы пространство V являлось прямой суммой подпространств V 1 и V 2, необходимо и достаточно, чтобы всякий элемент x V единственным образом представлялся в виде

Представленная информация была полезной?
ДА
58.65%
НЕТ
41.35%
Проголосовало: 989

x = x 1 + x 2, где x 1V 1, x 2V 2.

Доказательство. Необходимость. Пусть V 1 + V 2= V, = 0. Предположим, что x V имеет два представления: x = x 1+ x 2 и x = y l + y 2. Отсюда x 1 + x 2 = = y l + y 2, или x 1y l = y 2x 2. Левая часть принадлежит V 1, а правая часть принадлежит V 2. Поскольку общим у V 1 и V 2 является 0, то x 1 = y l, x 2 = y 2.

Достаточность. Если для любого x V верно единственное разложение x = = x 1 + x 2, то, по определению, V = V 1 + V 2. Покажем теперь, что единственным элементом, общим для V 1 и V 2, является 0. Действительно, если a и a ¹ 0, то для x имеем два представления: x = x 1 + x 2 и x = (x 1a) + (x 2 + a), что противоречит единственности.¨

Определение 8.9. Обобщая определение 8.8, будем говорить, что пространство V разлагается в прямую сумму подпространств V 1, V 2,…, Vk, если

V = V 1 + V 2 +… + Vk . = 0 при , где i, j = l, 2,…, k.

В этом случае любой вектор x V единственным образом представляется в виде

x = x 1 + x 2 +… + x k, x i Vi, i = 1, 2,…, k.

Например, в пространстве R n рассмотрим подпространства R , R ,…, R , порождаемые векторами вида (x 1, 0,…, 0), (0, x 2,…, 0),…, (0, 0,…, xn) соответственно. Поскольку x = (x 1, x 2,…, xn) = (x 1, 0,…, 0) + (0, x 2,…, 0) +… + (0, 0,…, xn), то R n = R + R +… + R . Кроме того, R R = 0 при всех i ¹ j, где i, j = l, 2,…, n, т. е. указанная сумма – прямая.

Теоремa 8.5. Если пространство V представлено в виде прямой суммы пространств V 1 и V 2, то dim V = dim V 1 + dim V 2.

Доказательство. Из соотношения V = V 1 + V 2 следует, что для любого x V справедливо равенство x = x 1 + x 2, где x 1V 1, x 2V 2. Пусть u 1, u 2,…, u k – базис пространства V 1 (dim V 1 = k) и v 1, v 2,…, v r – базис пространства V 2 (dim V 2 = r). Тогда для x 1 и x 2 имеют место разложения x 1 = u 1 + u 2 +… + u k и x 2 = v 1 + v 2 +… + v r. Следовательно,

x = x 1 + x 2 = u 1 + u 2 +… + u k + v 1 + v 2 +… + v r.

Поскольку = 0, то векторы u 1, u 2,…, u k, v 1, v 2,…, v r линейно независимы (докажите это), и, согласно последнему равенству, эти векторы порождают все пространство V. Значит, они образуют базис V и dim V = k + r. ¨


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.65%
НЕТ
41.35%
Проголосовало: 989

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет