g 
(первый замечательный предел).
Предварительно докажем следующее неравенство:
. (4.3)
Из рис. 4.1 видно, что при 
выполнено неравенство:
. (4.4)
Обозначая через x радианную меру угла Ð АОВ, из неравенства (4.4) получим
.
Далее, после сокращения на 
мы приходим к неравенству (4.3).
Разделив 
на каждый из членов неравенства (4.3), получим:
.
Следовательно 
.
Но 
(в силу неравенства 4.3).
Таким образом, 
.
Из последнего неравенства следует, что
. (4.5)
В силу нечетности функции 
, неравенство (4.5) не изменится при изменении знака x, то есть оно выполнено при всех x ¹ 0, 
.
Неравенство (4.5) позволяет доказать, что 
.
Действительно, для любого положительного числа e > . 0 в качестве d выберем 
.
Тогда при любом x ¹0: 
(а, следовательно, 
) будет выполнено неравенство (4.5): 
.3
Следствия из первого замечательного предела.
1. g Следствие 1. 
.
4 
.3
2. g Следствие 2. 
.
4 
.3
3. 1 Следствие 3. 
.
Следствие 3 доказывается аналогично следствию 2.
Пример 4.7. Найти предел 
Для раскрытия неопределенности вида 
воспользуемся первым замечательным пределом и следствием 3. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на x ¹ 0:
|
|
|
Задача 4.8. Найти предел 
Решение. Мы имеем дело с неопределенностью вида 
. Произведем
замену переменной: 
, тогда 
и 
.
.
Сравнение бесконечно малых величин.
Бесконечно малая величина 
называется бесконечно малой величиной более высокого порядка по сравнению с бесконечно малой величиной 
, если 
.
В этом случае пишут 
.
Две бесконечно малые величины 
и 
называются бесконечно малыми величинами одного порядка, если 
.
В данном случае пишут 
, или 
.
Две бесконечно малые величины 
и 
называются эквивалентными бесконечно малыми величинами, если 
.
Первый замечательный предел и его следствия дают нам примеры эквивалентных бесконечно малых величин при 
:
.
При решении некоторых задач бесконечно малые величины можно заменять эквивалентными.
Пример 4.9. Найти предел 
Мы имеем дело с неопределенностью вида 
. Заменим бесконечно малую величину 
на эквивалентную бесконечно малую величину 
, бесконечно малую величину 
на эквивалентную бесконечно малую величину 
, и бесконечно малую величину 
на эквивалентную бесконечно малую величину 
.
Получим:
.
