X-PDF

Первый замечательный предел и следствия из него

Поделиться статьей

g (первый замечательный предел).

 

Предварительно докажем следующее неравенство:

. (4.3)
Из рис. 4.1 видно, что при выполнено неравенство:

. (4.4)

Обозначая через x радианную меру угла Ð АОВ, из неравенства (4.4) получим

.

Далее, после сокращения на мы приходим к неравенству (4.3).

Разделив на каждый из членов неравенства (4.3), получим:
.

Следовательно .

Но (в силу неравенства 4.3).

Таким образом, .

 

Из последнего неравенства следует, что
. (4.5)
В силу нечетности функции , неравенство (4.5) не изменится при изменении знака x, то есть оно выполнено при всех x ¹ 0, .

Неравенство (4.5) позволяет доказать, что .

 

Действительно, для любого положительного числа e &gt . 0 в качестве d выберем .

Тогда при любом x ¹0: (а, следовательно, ) будет выполнено неравенство (4.5): .3

Следствия из первого замечательного предела.

1. g Следствие 1. .

4 .3

2. g Следствие 2. .

4 .3

3. 1 Следствие 3. .

Следствие 3 доказывается аналогично следствию 2.

Представленная информация была полезной?
ДА
58.6%
НЕТ
41.4%
Проголосовало: 988

Пример 4.7. Найти предел

Для раскрытия неопределенности вида воспользуемся первым замечательным пределом и следствием 3. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на x ¹ 0:

Задача 4.8. Найти предел

Решение. Мы имеем дело с неопределенностью вида . Произведем

замену переменной: , тогда и .

.

Сравнение бесконечно малых величин.

Бесконечно малая величина называется бесконечно малой величиной более высокого порядка по сравнению с бесконечно малой величиной , если .

В этом случае пишут .

Две бесконечно малые величины и называются бесконечно малыми величинами одного порядка, если .

 

В данном случае пишут , или .

Две бесконечно малые величины и называются эквивалентными бесконечно малыми величинами, если .

 

Первый замечательный предел и его следствия дают нам примеры эквивалентных бесконечно малых величин при :

.

При решении некоторых задач бесконечно малые величины можно заменять эквивалентными.

Пример 4.9. Найти предел

Мы имеем дело с неопределенностью вида . Заменим бесконечно малую величину на эквивалентную бесконечно малую величину , бесконечно малую величину на эквивалентную бесконечно малую величину , и бесконечно малую величину на эквивалентную бесконечно малую величину .

Получим:

.


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.6%
НЕТ
41.4%
Проголосовало: 988

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет