X-PDF

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера

Поделиться статьей

В формуле , где x и y — действительные числа, примем х = 0. Получим формулу

,

которая называется формулой Эйлера.

Используя формулу Эйлера можно любое комплексное число z записать в показательной форме

,

где r – модуль комплексного числа, а j — его аргумент.

Если в этой формуле Эйлера заменить y на — y, тогда получим .

Решим систему

относительно cos y, sin y. Сложим и вычтем уравнения, получим

.

Отсюда следуют формулы

.

7.18. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение неоднородного уравнения, как было показано ранее (теорема 7.4 ), находится как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, т. е.

,

где — линейно независимые решения однородного уравнения .

— произвольные постоянные .

— частное решение исходного неоднородного уравнения.

В общем случае линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка имеет вид

,

где — постоянные величины.

Частные решения однородного уравнения ищут в виде

.

Производные этой функции равны

.

Подставляем функцию и ее производные в однородное уравнение

.

Делим это уравнение на , получаем уравнение

.

Данное уравнение называется характеристическим.

Характеристическое уравнение является алгебраическим уравнением n -ой степени относительно l. Любое алгебраическое уравнение n -ой степени имеет в комплексной плоскости n корней.

Рассмотрим все возможные случаи решения однородного дифференциального уравнения в зависимости от вида корней его характеристического уравнения.

Случай 1. Все корни характеристического уравнения вещественные различные.

В этом случае дифференциальное уравнение имеет n линейно независимых частных решений

.

Общее решение однородного уравнения имеет вид

или

,

где — произвольные постоянные.

Пример 7. 22. Найти общее решение уравнения .

Составляем характеристическое уравнение

.

Находим его корни . Имеем два частных решения , . Записываем общее решение

.

Случай 2. Характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней , где .

Тогда этим корням соответствует два линейно независимых комплексно-сопряженных решения

,

.

Из этих решений составляют два линейно независимых действительных решения

.

Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид

или .

Пример 7. 23. Найти общее решение уравнения .

Составляем характеристическое уравнение

.

Находим его корни , где . Уравнение имеет два частных линейно независимых решения

.

Записываем общее решение

или .

Случай 3. Характеристическое уравнение имеет действительный корень l кратности k.

Тогда ему соответствует k линейно независимых частных решения однородного уравнения, которые имеют вид

.

Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид

.

Пример 7. 24. Найти общее решение уравнения .

Составляем характеристическое уравнение

.

Оно имеет действительный корень кратности k = 2. Ему соответствует два линейно независимых частные решения .

Общее решение .

Случай 4. Характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней кратности k.

Тогда этим корням соответствует 2 k линейно независимых частных решений однородного уравнения, которые имеют вид

.

Представленная информация была полезной?
ДА
58.6%
НЕТ
41.4%
Проголосовало: 988

Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид

или

Пример 7. 25. Найти общее решение уравнения

.

Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.

Û Þ Þ

Þ .

Уравнение имеет два корня кратности k = 2.

Общее решение уравнения имеет вид

.

7.19. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n -ого порядка с постоянными коэффициентами

Вид частного решения неоднородного дифференциального уравнения

зависит от вида правой части этого уравнения (функции ) и от величин корней характеристического уравнения.

Рассмотрим нахождение частного решения для двух видов функции .

Случай 1. Правая часть уравнения

,

где g — вещественное значение, — многочлен m -й степени.

В этом случае частное решение уравнения ищется в виде

где — многочлен m -й степени,

s — степень кратности корня характеристического уравнения .

Если не является корнем характеристического уравнения, то s = 0.

Пример 7. 25. Решить уравнение .

Характеристическое уравнение однородного уравнения имеет один корень кратности 2. Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид

.

Находим частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения , т. е. . Данное значение не является корнем характеристического уравнения (следовательно, его кратность s = 0). В этом случае частное решение ищется в виде . Находим производные и подставляем их в исходное уравнение

.

Делим это уравнение на , имеем . Отсюда .

Записываем частное решение и общее решение

.

Пример 7. 26. Решить уравнение .

Общее решение неоднородного уравнения равняется сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения .

Найдем общее решение однородного уравнения . Его характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение .

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Правую часть этого уравнения можно представить в виде

,

где показатель степени g в функции равен g = 0. Это значение совпадает с корнем характеристического уравнения , т. е. является его корнем кратности s = 1. Поэтому частное решение нужно искать в виде

.

Находим производные этой функции и подставляем их в исходное уравнение. Получаем

Û .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х (и ) в левой и правой частях уравнения

Получаем систему для нахождения коэффициентов A и B

Отсюда , . Записываем частное решение

.

Общее решение исходного дифференциального уравнения

.

Случай 2. Правая часть неоднородного дифференциального уравнения имеет вид

,

где g и w — вещественные значения,

и — многочлены степени и соответственно.

В этом случае частное решение дифференциального уравнения ищется в виде

,

— многочлены степени ,

s — кратность корня характеристического уравнения , где совпадает с числом g в показателе степени в функции правой части уравнения. Если g в не совпадает с , то s = 0.

Пример 7. 27. Решить уравнение .

Характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни . Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид

.

Ищем частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения , т. е. g = 0. Значение g = 0 не совпадает с реальной частью корней характеристического уравнения , поэтому s = 0. Частное решение необходимо искать в виде

,

где А и В — постоянные величины.

Находим производные , подставляем их в исходное неоднородное уравнение

Û

.

Приравниваем коэффициенты при sin x и cos x в левой и правой частях этого уравнения. Получаем систему для нахождения постоянных А и В и решаем ее.

Û Û Þ, .

Записываем частное решение

и общее решение

.


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.6%
НЕТ
41.4%
Проголосовало: 988

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет