В формуле 
, где x и y — действительные числа, примем х = 0. Получим формулу
,
которая называется формулой Эйлера.
Используя формулу Эйлера можно любое комплексное число z записать в показательной форме
,
где r – модуль комплексного числа, а j — его аргумент.
Если в этой формуле Эйлера заменить y на — y, тогда получим 
.
Решим систему
относительно cos y, sin y. Сложим и вычтем уравнения, получим
.
Отсюда следуют формулы
.
7.18. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка с постоянными коэффициентами.
Общее решение неоднородного уравнения, как было показано ранее (теорема 7.4 ), находится как сумма 
общего решения 
однородного уравнения и частного решения 
неоднородного уравнения, т. е.
,
где 
— линейно независимые решения однородного уравнения .
— произвольные постоянные .
— частное решение исходного неоднородного уравнения.
В общем случае линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка имеет вид
,
где 
— постоянные величины.
Частные решения однородного уравнения ищут в виде
.
Производные этой функции равны
.
Подставляем функцию 
и ее производные в однородное уравнение
.
Делим это уравнение на 
, получаем уравнение
.
Данное уравнение называется характеристическим.
Характеристическое уравнение является алгебраическим уравнением n -ой степени относительно l. Любое алгебраическое уравнение n -ой степени имеет в комплексной плоскости n корней.
Рассмотрим все возможные случаи решения однородного дифференциального уравнения в зависимости от вида корней его характеристического уравнения.
Случай 1. Все корни характеристического уравнения 
вещественные различные.
В этом случае дифференциальное уравнение имеет n линейно независимых частных решений
.
Общее решение однородного уравнения имеет вид
или
,
где 
— произвольные постоянные.
Пример 7. 22. Найти общее решение уравнения 
.
Составляем характеристическое уравнение
.
Находим его корни 
. Имеем два частных решения 
, 
. Записываем общее решение
.
Случай 2. Характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней 
, где 
.
Тогда этим корням соответствует два линейно независимых комплексно-сопряженных решения
,
.
Из этих решений составляют два линейно независимых действительных решения
.
Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид
или 
.
Пример 7. 23. Найти общее решение уравнения 
.
Составляем характеристическое уравнение
.
Находим его корни 
, где 
. Уравнение имеет два частных линейно независимых решения
.
Записываем общее решение
или 
.
Случай 3. Характеристическое уравнение имеет действительный корень l кратности k.
Тогда ему соответствует k линейно независимых частных решения однородного уравнения, которые имеют вид
.
Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид
.
Пример 7. 24. Найти общее решение уравнения 
.
Составляем характеристическое уравнение
.
Оно имеет действительный корень 
кратности k = 2. Ему соответствует два линейно независимых частные решения 
.
Общее решение 
.
Случай 4. Характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней 
кратности k.
Тогда этим корням соответствует 2 k линейно независимых частных решений однородного уравнения, которые имеют вид
.
Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид
или
Пример 7. 25. Найти общее решение уравнения
.
Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.
Û 
Þ 
Þ
Þ 
.
Уравнение имеет два корня 
кратности k = 2.
Общее решение уравнения имеет вид
.
7.19. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n -ого порядка с постоянными коэффициентами
Вид частного решения неоднородного дифференциального уравнения
зависит от вида правой части этого уравнения (функции 
) и от величин корней характеристического уравнения.
Рассмотрим нахождение частного решения для двух видов функции 
.
Случай 1. Правая часть уравнения
,
где g — вещественное значение, 
— многочлен m -й степени.
В этом случае частное решение уравнения ищется в виде
где 
— многочлен m -й степени,
s — степень кратности корня характеристического уравнения 
.
Если 
не является корнем характеристического уравнения, то s = 0.
Пример 7. 25. Решить уравнение 
.
Характеристическое уравнение однородного уравнения 
имеет один корень 
кратности 2. Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид
.
Находим частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения 
, т. е. 
. Данное значение 
не является корнем характеристического уравнения (следовательно, его кратность s = 0). В этом случае частное решение ищется в виде 
. Находим производные 
и подставляем их в исходное уравнение
.
Делим это уравнение на 
, имеем 
. Отсюда 
.
Записываем частное решение 
и общее решение
.
Пример 7. 26. Решить уравнение 
.
Общее решение неоднородного уравнения равняется сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения 
.
Найдем общее решение однородного уравнения 
. Его характеристическое уравнение 
имеет корни 
. Общее решение 
.
Найдем частное решение неоднородного уравнения. Правую часть этого уравнения можно представить в виде
,
где показатель степени g в функции 
равен g = 0. Это значение совпадает с корнем характеристического уравнения 
, т. е. является его корнем кратности s = 1. Поэтому частное решение нужно искать в виде
.
Находим производные этой функции 
и подставляем их в исходное уравнение. Получаем
Û 
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х (
и 
) в левой и правой частях уравнения
Получаем систему для нахождения коэффициентов A и B
Отсюда 
, 
. Записываем частное решение
.
Общее решение исходного дифференциального уравнения
.
Случай 2. Правая часть неоднородного дифференциального уравнения имеет вид
,
где g и w — вещественные значения,
и 
— многочлены степени 
и 
соответственно.
В этом случае частное решение дифференциального уравнения ищется в виде
,
— многочлены степени 
,
s — кратность корня характеристического уравнения 
, где 
совпадает с числом g в показателе степени 
в функции 
правой части уравнения. Если g в 
не совпадает с 
, то s = 0.
Пример 7. 27. Решить уравнение 
.
Характеристическое уравнение 
имеет комплексно-сопряженные корни 
. Поэтому общее решение однородного уравнения 
имеет вид
.
Ищем частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения 
, т. е. g = 0. Значение g = 0 не совпадает с реальной частью корней характеристического уравнения 
, поэтому s = 0. Частное решение необходимо искать в виде
,
где А и В — постоянные величины.
Находим производные 
, подставляем их в исходное неоднородное уравнение
Û
.
Приравниваем коэффициенты при sin x и cos x в левой и правой частях этого уравнения. Получаем систему для нахождения постоянных А и В и решаем ее.
Û 
Û 
Þ
, 
.
Записываем частное решение
и общее решение
.
