Лекция №8
1. Число е.
2. Подпоследовательности.
3. Теорема о сходимости подпоследовательности сходящейся последовательности.
4. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
Число е
Докажем, что 
.
Доказательство: 1.Рассмотрим последовательность 
с общим членом 
: 
, 
, …, 
,…. (2 . 2,25 . 2,357 . 2,44 . …, 
,…).
Требуется доказать, что, 
– иррациональное число, т.е., что последовательность 
сходится к 
при 
.
2.Известно, что возрастающая последовательность, ограниченная сверху сходится к конечному числу.
3.Воспользуемся формулой бинома Ньютона:
.
4.Представим выражение в следующем виде:
или
.
5.Аналогичным образом представим элемент 
данной последовательности:
.
6.Сравним два выражения 
и 
, 
.
7.Так как, 
, то 
поэтому 
.
8.Сравним 
и 
.
Каждое слагаемое в выражении 
больше соответствующего слагаемого в выражении 
. Кроме того, у 
по сравнению с 
добавляется одно положительное слагаемое. Следовательно, 
, т.е. последовательность 
возрастает. Осталось доказать, что она ограничена сверху.
9.Рассмотрим опять nый элемент последовательности:
.
10.Каждое выражение, стоящее в круглых скобках меньше 1, т.е.
.
11.Учитывая это, получим, 
, так как
.
12.Известно, что 
при 
.
(Например, 
. 
и т.д.).
13.Поэтому можно записать 
или 
.
14.Но 
это сумма убывающей геометрической прогрессии с 
. 
. Следовательно, 
.
15.Тогда 
или 
при 
.
16.Итак, последовательность 
возрастает и ограничена сверху 3.
А всякая последовательность, возрастающая и ограниченная сверху (по теореме Вейерштрасса) имеет конечный предел. Как оказалось
.
Ч.т.д.
Модуль
Тема №3
Функции и их свойства. Операции над функциями. Композиция функций. Обратная функция. Предел функции
Лекция №9
1. Понятие функции.
2. Операции над функциями.
3. Ограниченные сверху, снизу и ограниченные функции.
4. Наибольшее, наименьшее, максимальные, минимальные и экстремальные значения функции.
5. График функции.
6. Способы задания функции. Композиция функций.
7. Классификация функций.
8. Четные, нечетные функции и их свойства.
9. Периодические функции.
Понятие функции
Определение. Пусть 
и 
– некоторые числовые множества. Функцией называется множество 
упорядоченных пар чисел 
таких, что 
, 
, а каждое 
входит в одну и только в одну пару такого множества 
, а каждое y входит, по крайней мере, в одну пару этого множества 
.
При этом говорят, что числу 
поставлено в соответствие число 
и пишут: 
. Число 
называется значением функции 
в точке 
. Переменную 
называют зависимой переменной, а переменную 
называют независимой переменной или аргументом.
Множество 
называют областью определения (или существования) функции 
, а множество 
– множеством значения функции 
.
Замечание. 1. Кроме буквы 
для обозначения функции используют и другие буквы: 
. 
. 
. 
.
2. Другими буквами может быть обозначена и зависимая, и независимая переменные.
3. Наряду с термином «функция» употребляют равнозначные термин «отображение». Говорят, что отображение 
отображает число 
в число 
или что число 
является образом числа 
при отображении 
.
