Преобразование Лапласа. Для решения линейных дифференциальных уравнений будем использовать преобразование Лапласа

Для решения линейных дифференциальных уравнений будем использовать преобразование Лапласа.

Преобразованием Лапласа называют соотношение

(1)

ставящее функции x(t) вещественного переменного t в соответствие функцию X(s) комплексного переменного s (s = σ + jω). При этом x(t) называют оригиналом, X(s) — изображением или изображением по Лапласу и s — переменной преобразования Лапласа. Оригинал обозначают строчной, а его изображение — одноименной прописной буквой.

Предполагается, что функция x (t), подвергающаяся преобразова­нию Лапласа, обладает следующими свойствами:

1) функция x(t) определена и кусочно дифференцируема на интер­вале [0, ∞) .

2) x(t) ≡ 0 при t &lt . 0 .

3) существуют такие положительные числа с и М, что │ x(t)│ &lt . Me^ct при 0 ≤ t &lt . ∞.

Функцию, обладающую указанными свойствами, называют функ­цией-оригиналом.

Соотношение, определяющее по известному изображению его оригинал, называют обратным преобразованием Лапласа. В нем интеграл берется вдоль любой прямой Re s = σ &gt . с.

(2)

Условно прямое и обратное преобразования Лапласа записывают соответственно в виде

X(s) = L{x(t)}, x(t)=L^-1{X(s)},

где L — оператор Лапласа, a L ^-1 — обратный оператор Лапласа. Основные свойства преобразования Лапласа.

1. Свойство линейности. Для любых постоянных α и β

L{αx₁(t) +βx₂(t)} = aL{x₁(t)}+βL{x₂(t)},

т. е. преобразование Лапласа от суммы функций равно сумме преоб­разований слагаемых и постоянные множители можно выносить за знак преобразования.

2. Дифференцирование оригинала. Если производная является функцией-оригиналом, то

где X(s) = L{x(t)}, .

Здесь запись t → +0 обозна­чает, что t стремится к нулю, оставаясь положительной (предел справа).

Если п-я производная х ⁽ⁿ⁾(t) является функцией-оригиналом, то

L { х⁽ⁿ⁾ (t)} =sⁿX (s) – s^{(n -1)}x (0) – s^{(n -2)}x (0) — … — x^{(n -1 )} (0)

Здесь х^(k) (0) = lim х^(k) (t) k = 0,1,…, n — 1.

^{t → +0}

При x (0) = x (0) =…= x ^{(n -1)}(0) = 0 последняя формула прини­мает вид

L { х⁽ⁿ⁾ (t)} =sⁿX (s).

Таким образом, при нулевых начальных условиях дифференциро­ванию оригинала соответствует умножение изображения на s.

3. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сво­дится к делению изображения на s:

4. Теорема запаздывания. Для любого τ &gt . О

L{x(t — τ)} = e ^{— τS}L{x(t)} = e ^{— τS}X(s).

5. Теорема дифференцирования изображения. Изображение от произведения t на x(t) равно производной от изображения X(s), взятой с обратным знаком:

6. Теорема о смещении в комплексной плоскости. Изображение от произведения на , получаем заменой переменной s на в изображении X(s):

7. Теорема о свертке (умножении изображений). Если x₁(t) и x₂(t) — оригиналы, a X₁(s) и X₂(s)— их изображения, то

Интеграл в правой части называют сверткой функций x(t) и x₂(i), его обозначают

x₁(t) * х₂(t):

Поэтому

8. Теоремы о предельных значениях. Если х (t) — оригинал, а Х(s) — его изображение, то

и если существует то

В таблице приведены изображения Лапласа для часто используемых функций

№	Оригинал x(t)	Изображение X(s)
	1(t)
	t

Пример 1. Найти изображение для

Решение:

Изображение равно

На основании теоремы 5 изображение X(s) будет равно

Пример 2. Найти изображение

Решение:

Выразим через косинус двойного угла

Изображение

На основании теоремы 6:

Пример 3. Найти изображение

Решение:

Изображение найдено в примере 1.

На основании теоремы 6: изображение получим, заменив s на в предыдущем выражении