X-PDF

Преобразование Лапласа. Для решения линейных дифференциальных уравнений будем использовать преобразование Лапласа

Поделиться статьей

Для решения линейных дифференциальных уравнений будем использовать преобразование Лапласа.

Преобразованием Лапласа называют соотношение

(1)

ставящее функции x(t) вещественного переменного t в соответствие функцию X(s) комплексного переменного s (s = σ + jω). При этом x(t) называют оригиналом, X(s)изображением или изображением по Лапласу и sпеременной преобразования Лапласа. Оригинал обозначают строчной, а его изображение — одноименной прописной буквой.

Предполагается, что функция x (t), подвергающаяся преобразова­нию Лапласа, обладает следующими свойствами:

1) функция x(t) определена и кусочно дифференцируема на интер­вале [0, ∞) .

2) x(t) ≡ 0 при t &lt . 0 .

3) существуют такие положительные числа с и М, что │ x(t)│ &lt . Mect при 0 ≤ t &lt . ∞.

Функцию, обладающую указанными свойствами, называют функ­цией-оригиналом.

Соотношение, определяющее по известному изображению его оригинал, называют обратным преобразованием Лапласа. В нем интеграл берется вдоль любой прямой Re s = σ &gt . с.

(2)

Условно прямое и обратное преобразования Лапласа записывают соответственно в виде

X(s) = L{x(t)}, x(t)=L-1{X(s)},

где L — оператор Лапласа, a L -1 — обратный оператор Лапласа. Основные свойства преобразования Лапласа.

1. Свойство линейности. Для любых постоянных α и β

L{αx1(t) +βx2(t)} = aL{x1(t)}+βL{x2(t)},

т. е. преобразование Лапласа от суммы функций равно сумме преоб­разований слагаемых и постоянные множители можно выносить за знак преобразования.

2. Дифференцирование оригинала. Если производная является функцией-оригиналом, то

где X(s) = L{x(t)}, .

Здесь запись t → +0 обозна­чает, что t стремится к нулю, оставаясь положительной (предел справа).

Если п-я производная х (n)(t) является функцией-оригиналом, то

L { х(n) (t)} =snX (s) – s(n -1)x (0) – s(n -2)x (0) — … — x(n -1 ) (0)

Здесь х(k) (0) = lim х(k) (t) k = 0,1,…, n — 1.

t → +0

При x (0) = x (0) =…= x (n -1)(0) = 0 последняя формула прини­мает вид

L { х(n) (t)} =snX (s).

Таким образом, при нулевых начальных условиях дифференциро­ванию оригинала соответствует умножение изображения на s.

3. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сво­дится к делению изображения на s:

4. Теорема запаздывания. Для любого τ &gt . О

L{x(tτ)} = eτSL{x(t)} = e τSX(s).

Представленная информация была полезной?
ДА
58.69%
НЕТ
41.31%
Проголосовало: 990

5. Теорема дифференцирования изображения. Изображение от произведения t на x(t) равно производной от изображения X(s), взятой с обратным знаком:

6. Теорема о смещении в комплексной плоскости. Изображение от произведения на , получаем заменой переменной s на в изображении X(s):

7. Теорема о свертке (умножении изображений). Если x1(t) и x2(t) — оригиналы, a X1(s) и X2(s)— их изображения, то

Интеграл в правой части называют сверткой функций x(t) и x2(i), его обозначают

x1(t) * х2(t):

Поэтому

8. Теоремы о предельных значениях. Если х (t) — оригинал, а Х(s) — его изображение, то

и если существует то

В таблице приведены изображения Лапласа для часто используемых функций

Оригинал x(t) Изображение X(s)
   
  1(t)
 
  t
 
 
 
 
 
 
 
 

Пример 1. Найти изображение для

Решение:

Изображение равно

На основании теоремы 5 изображение X(s) будет равно

Пример 2. Найти изображение

Решение:

Выразим через косинус двойного угла

Изображение

На основании теоремы 6:

Пример 3. Найти изображение

Решение:

Изображение найдено в примере 1.

На основании теоремы 6: изображение получим, заменив s на в предыдущем выражении


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.69%
НЕТ
41.31%
Проголосовало: 990

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет