Для упрощения вычисления некоторых пределов можно использовать следующую теорему, основанную на эквивалентности бесконечно малых функций.
Теорема 6.1. Пусть 
и 
, 
и 
– попарно эквивалентные бесконечно малые функции при 
, т.е. 
и 
при 
. Тогда если существует 
, то существует и 
, при этом выполняется равенство 
. Другими словами, предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если их заменить эквивалентными бесконечно малыми функциями. Сказанное справедливо и для эквивалентных бесконечно малых функций при 
.
Примеры 6.1. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые:
1) 
.
Решение: В данном примере имеем дело с отношением двух бесконечно малых функций: числитель и знаменательстремятся к нулю при 
. Поэтому для вычисления предела воспользуемся эквивалентностью бесконечно малых функций: 
и 
при 
. Тогда
.
2) 
.
Решение: В данном примере также имеем дело с отношением двух бесконечно малых функций: числитель и знаменательстремятся к нулюпри 
. Поэтомудля раскрытия неопределенности заменим числитель эквивалентной бесконечно малой функцией: 
, а знаменатель разложим на множители:
|
|
|
.
3) 
.
Решение: В данном примере снова имеем дело с отношением двух бесконечно малых функций: числитель и знаменательстремятся к нулюпри 
. Тогда для раскрытия неопределенности заменим числитель эквивалентной бесконечно малой функцией: 
и далее воспользуемся формулой разности квадратов:
.
