В ученической исследовательской работе по математикеМатематика в архитектуре Норильска автором было рассмотрено применение математики в архитектуре. Врамках проекта мной была проведена работа с учебной и научно-популярнойлитературой, ресурсами сети интернет, использованы методы наблюдения,сравнения, анализа.
Учебный исследовательский проект по математике на тему Математикав архитектуре Норильска содержитисследование наиболее известных зданий с применением золотого сечения,а также рассматривает принцип золотого сечения в архитектуре города Норильск. Вработе дается определение понятия золотая пропорция и золотоесечение, перечисляются примеры применения данного математического правилав искусстве.
Оглавление
Введение
1. Математика и искусство.
2. «Золотая пропорция» и связанные с нею отношения.
3. Золотое сечение в архитектуре города Подольск.
Заключение
Литература
Введение
Казалось бы, математика и искусство — две несовместимые вещи. Но это лишьстереотип. С давних времен художники и архитекторы используют математику длясоздания своих шедевров, получивших одобрение публики. Ничто не приковываетвзгляд человека, как красота природы, которая, в свою очередь, и создаламатематику. Именно поэтому люди могут часами рассматривать картину Леонардо ДаВинчи “Мона Лиза”, которая привлекает тем, что композиция рисунка построена назолотых треугольниках. Данная исследовательская работа посвященаизучению взаимосвязи математики и искусства.
Объект исследования: Математика и искусство.
Цель исследования: Воспользовавшись различнойлитературой,рассмотреть и доказать применение математики в архитектуре городаНорильск.
Задачи исследования:
1. Рассмотреть применение математики в архитектуре Норильска.
2. Изучить историю архитектурных строений города Норильск.
3. Рассмотреть золотую пропорцию и связанные с нею отношения;
4. Частично изучив архитектуру города Норильск, рассмотреть наиболееизвестные здания с применением золотого сечения.
Гипотеза: Математика играет важную роль в архитектуре.
Методы исследования: Работа с учебной инаучно-популярной литературой, ресурсами сети интернет. Наблюдение, сравнение,анализ.
Математика и архитектура
Математика — наука о структурах, порядкеи отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения иописания формы объектов. Математические объектысоздаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектови записи этих свойств на формальном языке.
Искусство — форма творчества, способдуховной самореализации человека посредством чувственно-выразительных средств(звука, пластики тела, рисунка, слова, цвета, света, природного материала ит.д.)
Математика как наука родилась в Древней Греции. Математикаиспользовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), либо, наоборот,для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов (астрология,нумерология и т. п.). Позже математику начали использовать в искусстве. Золотоесечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравныечасти, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большаячасть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится кбольшему, как больший ко всему.
У многих Норильск ассоциируется с холодным заполярным климатом,снегами и ветром. Однако его архитектура вносит в окружение приятную изюминку,радуя взгляд характерными особенностями. Жители Санкт-Петербурга, приехав сюдав гости, найдут множество знакомых элементов в облике зданий. Этому есть простообъяснение — дома Норильска проектировали архитекторы, возводившие новые на тотмомент районы Ленинграда. Это наложило на общий вид города характерныеособенности. Однако уже в 60-ые годы прошлого столетия его дополнили типовыеэлементы, которые использовались в строительстве всех зданий
Множество необычных архитектурных решений
Стремясь украсить город, специалисты создавали оригинальные проектызданий. Чего стоят пестрые дома в центре Норильска? Самые первые жилые зданияимеют разноцветную окраску: голубую, розовую, зеленую… Яркая радуга проходит повсему проспекту! Такой выбор оттенков позволяет добавить новые цвета впривычную серую обстановку Норильска, практически лишенного зелени.
В целом, город можно смело поделить по районам исходя их времени ихзастройки. Например, старые дома можно встретить на Ленинском проспекте иГвардейской площади. Интересное место для любителей архитектуры представляетсобой Старый Город, собравший множество относительно высоких зданий. Это быловызвано отсутствием подходящей для обустройства земли, из-за чего специалистампришлось постараться и разработать проекты с большим количеством этажей.
Нюансы строительных работ в условиях Заполярья…
Климат региона сыграл важную роль в процессе застройки Норильска.Вечномерзлая земля и суровые холода внесли серьезные корректировки в работуархитекторов. Дорабатывая типовые проекты, они постепенно совершенствовали иускоряли процесс возведения новых зданий в городе. Если обратить внимание на постройкиСтарого Города и дома, возведенные во времена Сталина, можно заметить, чтомногие из них уже совершенно не годятся для размещения жителей. Низкая температураи постоянный холодный ветер сделали свое дело.
Влияние погоды приводит к тому, что строителям приходится кропотливопрорабатывать каждый этап создания зданий на вечномерзлом грунте Норильска.Современные здания построены с учетом многочисленных нюансов и готовыфункционировать даже в самых суровых условиях. Среди новых построек стоит обратитьвнимание на больницу в Оганере, занимающую целых четырнадцать этажей. Она сталасвоеобразной достопримечательностью города, обслуживая огромное количествожителей единовременно.
«Золотое сечение» встречается при анализегеометрических соразмерностей Парфенона. Это древнее сооружение с егогармоническими пропорциями заставляет не отводить от него глаз.
Будучи профессионалом, автор упоминает крупные вертикальныечленения, которые хорошо видны как вблизи, так и на большом расстоянии. Арки,расположенные во флангах по обеим сторонам Октябрьской площади, раскрываютперспективу внутриквартальных пространств, тем самым обогащая архитектурупарадного въезда из «прошлого в будущее». Её ценность подчёркивают двевертикали башенного типа по углам площади. Даже высота постамента (егопроектировали Непокойчицкий и Миненко) установленной в 1954 году скульптурыЛенина была обусловлена масштабом рядом стоящих сооружений и работала на даннуючасть города.
Первый котлован здесь начали рыть (по некоторым источникам) в 1945году, а первые дома сдали в 1947-м. Достоверно известно, что к 1951 году выросдом с магазином «Сияние», а в 1953-м приняла первых посетителейнаучно-техническая библиотека Норильского комбината. Адрес этого сложного поконструктивной и планировочной структуре здания — Ленинский проспект, дом 1/улица 50 лет Октября, дом 1. Это многоквартирный 4–5–6–7-этажный дом. Авторыпроекта — Витольд Непокойчицкий, Лидия Миненко при участии Фёдора Усова.Фундаменты здания — столбчатые (бетонные столбы) с опиранием на скалу (сврезкой в скалу), стены — кирпичные, оштукатуренные, облицованные плиткой.
Начало Ленинского проспекта обозначено семиэтажной башней ичетырёхколонным портиком, поставленным по оси башни и выделяющим главный вход вздание. Его Г-образную часть, расположенную параллельно проспекту, «разделяет»арочный проём. В доме остались 32 квартиры, есть офисные помещения. В той частиздания, которая имеет почтовый адрес «Улица 50 лет Октября, 1», заняты трижилых подъезда — 66 квартир.
Зеркальное отражение «нашего» дома с нечётной стороны — жилаяпятиэтажка по адресу: Ленинский проспект, 2. Построенная в 1947 году по проектутех же авторов пятиэтажка в паре с «соседом» по Ленинскому проспекту, 1,образует ансамбль застройки Октябрьской площади. Норильск и был задуманВитольдом Непокойчицким как система архитектурных ансамблей.
Теория пропорций Поликлета ярко воплотилась встатуе «Дорифор»-копьеносец, которую онизваял в строгом соответствии всех частей. Дорифор представляет собойизображение не конкретного атлета, победителя в состязаниях по метаниюкороткого копья, а обобщенный образ идеальной мужской фигуры. Так, пупок (точкаО) делит высоту статуи в отношении «Золотого сечения». Значит, если высоту AB принять за 1, то AO = φ, но тогдаOB = 1 — φ. На рисунке показано, что расстояние OB берется равным. Еслисчитать, что 1 — φ = φ, то приходим к уравнению φ² + φ — 1 = 0. Откуда φ = (-1+ √(1 + 4)) / 2, т. е. получили алгебраическое построение “Золотого сечения”,которое сводится к решению уравнения
a: x = x : (a — x), откуда x = ((√5 — 1)a) / 2 = 0,62a.
Математика тесно связана не только с архитектурой и древнимискульптурами, но и с музыкой. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мирзвуков. Решая математические задачи, мы погружаемся в строгое пространствочисел и понимаем, что мир звуков и пространство чисел связаны друг с другом.Древнегреческий философ Пифагор, один из первых установил связь между музыкой иматематикой.
Он создал учение о звуке, изучал математические и философскиестороны звука, пытался связать музыку с астрономией. В период средневековьямузыка понималась не как искусство, а как наука и относилась к сферематематических знаний. В своих трудах ученые неоднократно делали попыткипредставить музыку как некую математическую модель. Приведем, к примеру, однуиз цитат работы Леонарда Эйлера “Диссертация о звуке”, написанная в 1727 году:“Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыкукак часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных основанийвсе, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков”.
Свое отношение к математике и музыке ученые высказывались в своихличных переписках. Так, например, Лейбниц в письме Гольбаху пишет: “Музыка естьскрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать”. На что Гольбах емуотвечает: “Музыка – это проявление скрытой математики”
«Золотая пропорция» и связанные с нею отношения
В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно средихудожников, скульпторов, архитекторов. Так, выбирая размеры картины, художникистарались, чтобы отношения ее сторон равнялось φ. Такой прямоугольник сталиназывать «золотым».
Построим «золотой» прямоугольникпо описанным ниже указаниям, дошедшим до нас со времен Евклида.
1. Начертите квадрат и разделите его на два равных прямоугольника.
2. В одном из прямоугольников проведите диагональ АВ.
3. Циркулем проведите окружность радиуса АВ с центром в точке А.
4. Продолжите основание квадрата до пересечения с дугой в точке Р ипроведите под прямым углом вторую сторону искомого прямоугольника.
Измерьте линейкой длины сторон построенного прямоугольника MNKP ивычислите отношение большей стороны к меньшей. (Отношение должно быть 1,6.)
I свойство:
Если от золотого прямоугольника со сторонами а и b (где а > 5)отрезать квадрат со стороной b, то получим прямоугольник со сторонами b и а-b,который тоже золотой. Продолжая этот процесс, каждый раз будем получатьпрямоугольник меньших размеров, но опять золотой.
II свойство:
Процесс, описанный выше, приводит к последовательности такназываемых вращающихся квадратов. Если соединить противоположные вершины этихквадратов плавной линией, то получим кривую, которая называется “Золотаяспираль”. полюсом называется точка, с которой она начинает раскручиваться(точка S). Отрезки, соединяющие точку S с точками спирали, называются полярнымирадиусами.
“Золотая спираль” активно используют в искусстве. Есть одно важноеправило:
Содержание — в сердце «золотой спирали».Золотую спираль можно использовать для того, чтобы распределить объекты наплоскости. В центр можно поставить самые важные детали, а остальные — привязатьк линии спирали.
В своих архитектурных творениях древнегреческие мастера исходилииз пропорций, которые видели в природе, и прежде всего в пропорцияхчеловеческого тела.
ispravlenie-i-nakazanie.tnt-online.ru
РЕКЛАМА
Рассмотрим пентаграмму. Построим сначалаправильный пятиугольник. Это легко сделать с помощью описанной окружности. Изее центра надо последовательно отложить углы с вершиной в центре окружности,равные 360/5 = 72 градуса, стороны углов пересекут окружность в точках A, B, C,D, E. Соединив их, получим правильный пятиугольник. Проведем диагонали иполучим пентаграмму.
Стороны пентаграммы, пересекаясь, образуют снова правильныйпятиугольник, в котором пересечение диагоналей дает нам новую пентаграмму, а впересечении её сторон мы снова видим правильный пятиугольник, открывающийвозможность построения новой пентаграммы. И так далее до бесконечности.
Золотое сечение в архитектуре города Подольск
Закон золотого сечения неотъемлемая часть архитектуры. Передархитекторами стоит непростая задача. Им необходимо соблюсти архитектурныепропорции, которые являются важным средством на пути к гармонии комфорта инадежности сооружения.
Мы провели исследование фотоснимков Храма Знамения ПресвятойБогородицы. На фотоснимках мы измеряли:
· Отношение высоты церкви к нижнему ярусу;
· «Золотой треугольник»:отношение расстояния от основания купола до креста к диаметру основания.
Полученные измерения очень близки к числу золотого сечения -1,618. Размеры полученные в процессе измерения, могут немного отличаться отнастоящих, так как измерения производились с погрешностью глазомера, линейки.
Таблица измерений:
|
Отношение высоты церкви к нижнему ярусу |
«Золотой треугольник» |
|
|
Результаты измерений |
1,613 |
1,308 |
|
Погрешность с числом 1,618 |
0,005 |
0,31 |
Заключение
Мы думаем, что наша работа является небольшим пособием дляпонимания связи математики и искусства. Мы рассмотрели применение математики ввиде “Золотого сечения” в архитектуре, живописи и музыке. В нашем проекте мыописали применение “Золотого сечения” только на одном здании, но здания, припостроении которых применяли “Золотое сечение”, встречаются в нашем городенеоднократно.
Для написания данной работы были использованы ресурсы сетиИнтернет
