X-PDF

Прямая и обратная пропорциональности

Поделиться статьей

Если t — время движения пешехода (в часах), s — пройденный путь (километрах), и он движется равномерно со скоростью 4 км/ч, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой s = 4t Так как каждому значению t соответствует единственное значение, то можно говорить о том, что с помощью формулы s = 4t задан функция. Ее называют прямой пропорциональностью и определяю следующим образом.

Определение. Прямой пропорциональностью называется функции которая может быть задана при помощи формулы у = kx, где k не равное нулю действительное число.

Название функции у = k х связано с тем, что в формуле у = k х есть переменные х и у, которые могут быть значениями величин. А если отношение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, их называют прямо пропорциональными. В нашем случае .

Это число называют коэффициентом пропорциональности.

Функция у = k х является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Одна из них описана выше.

Другой пример: если в одном пакете муки 2 кг, а куплено х таких пакетов, то всю массу купленной муки (обозначим ее через у) можно представить в виде формулы у = 2х, т. е. зависимость между количеством пакетов и всей массой купленной муки является прямой пропорциональностью с коэффициентом k = 2.

Напомним некоторые свойства прямой пропорциональности, которые изучаются в школьном курсе математики.

1. Областью определения функции у = k х и областью ее значений является множество действительных чисел.

2. Графиком прямой пропорциональности является прямая, прохо­дящая через начало координат. Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно найти лишь одну точку, при­надлежащую ему и не совпадающую с началом координат, а затем через эту точку и начало координат провести прямую.

Например, чтобы построить график функции у = k х, достаточно иметь точку с координатами (1, 2), а затем через нее и начало координат провести прямую (рис. 7).

3. При k &gt . 0 функция у = kх возрастает на всей области определения, при k &lt . 0 — убывает на всей области определения.

4. Если функция f — прямая пропорциональность и (х1, у1), (х2, у2) -пары соответственных значений переменных х и у, причем х2 ¹ 0, то

Рис. 7

Действительно, если функция f — прямая пропорциональность, то она может быть задана формулой у = k х, и тогда у1 = k х1, у2 = k х2. Так как х2 ¹ 0 и k ¹ 0, то у2¹ 0. Поэтому и значит

Замечание. Если значениями переменных х и у служат положительные действительные целые числа, то доказанное свойство прямой пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Это свойство присуще только прямой пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются прямо пропорциональные величины.

Задача 1. За 8 ч токарь изготовил 16 деталей. Сколько часов потребуется токарю на изготовление 48 деталей, если он будет работать с той же производительностью?

Решение. В задаче рассматриваются величины — время работы токаря, количество сделанных им деталей и производительность (т.е. количество деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч), причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того, количество сделанных деталей и время работы — величины прямо пропорциональные, так как их отношение равно некоторо­му числу, не равному нулю, а именно — числу деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч. Если количество сделанных деталей обозначит буквой у, время работы х, а производительность – k, то получим, что или у = k х, т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является прямая пропорциональность.

Решить задачу можно двумя арифметическими способами:

1 способ: 2 способ:

1) 16:8 =2 (дет.) 1) 48:16 = 3 (раза)

2) 48_2=24(ч) 2) 8×3=24(ч)

Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 2, а затем, зная, что у = 2х, нашли значение х при условии, что у = 48.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойством прямой пропорциональности: во сколько раз увеличивается количество деталей, сделанных токарем, во столько же раз увеличивается и количество времени на их изготовление.

Перейдем теперь к рассмотрению функции, называемой обратной пропорциональностью.

Если t — время движения пешехода (в часах), v- его скорость (в км/ч) и он прошел 12 км, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой v × t = 20 или v = . Так как каждому значению t (t¹0) соответствует единственное значение скорости v, то можно говорить о том, что с помощью формулы v = . задана функция. Ее называют обратной пропорциональностью и определяют следующим образом.

Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы где k — не равное нулю действительное число.

Название данной функции связано с тем, что в есть переменные х и у, которые могут быть значениями величин. А если произведение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, то их называют обратно пропорциональными. В нашем случае ху = k (k ¹ 0). Это число k называют коэффициентом пропорциональности.

Представленная информация была полезной?
ДА
58.6%
НЕТ
41.4%
Проголосовало: 988

Функция является математической моделью многих реальных ситуации, рассматриваемых уже в начальном курсе математики.

Одна из них описана перед определением обратной пропорциональности.

Другой пример: если купили 12 кг муки и разложили ее в х пакетов по у кг в каждую, то зависимость между данными величинами можно представить в виде х×у = 12, т.е. она является обратной пропорциональностью с коэффициентом k = 12. Напомним некоторые свойства обратной пропорциональности, известные из школьного курса математики.

1. Областью определения функции областью ее значений х является множество действительных чисел, отличных от нуля.

2. Графиком обратной пропорциональности является гипербола.

3. При k &gt . 0 ветви гиперболы расположены в 1-й и 3-й четвертях и функция является убывающей на всей области определения х (рис.8). При k &lt . 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четверти функция является возрастающей на всей области определения х (рис. 9).

у у

k &gt . 0 k &lt . 0

х х

Рис.8 Рис.9

4. Если функция f – обратная пропорциональность и (х1, у1), (х2, у2) – пары соответствующих значений переменных х и у, то

Действительно, если функция f — обратная пропорциональность, она может быть задана формулой и тогда , . Так как х1 ¹ 0, х2¹ 0, то .

Замечание. Если значениями переменных х и у служат положительные действительные числа, то это свойство обратной пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Это свойство присуще только обратной пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рас­сматриваются обратно пропорциональные величины.

Задача 2. Велосипедист, двигаясь со скоростью 10 км/ч, проехал расстояние от А до В за 6 ч. Сколько времени потратит велосипедист на обратный путь, если будет ехать со скоростью 20 км/ч?

Решение. В задаче рассматриваются величины: скорость движе­ния велосипедиста, время движения и расстояние от А до В, причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того, скорость и время движения — величины об­ратно пропорциональные, так как их произведение равно некото­рому числу, а именно пройденному расстоянию. Если время движе­ния велосипедиста обозначить буквой у, скорость — х, а расстояние АВ — k, то получим, что ху = k или , т. е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является обратная пропор­циональность.

Решить задачу можно двумя способами:

1 способ: 2 способ:

1) 10×6 =60 (км) 1) 20_10=2 (раза)

2) 60_20=3(ч) 2) 6_2=3(ч)

Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 60, а затем, зная, что нашли значение у при условии, что х = 20.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойством обратной пропорциональности: во сколько раз увеличивается скорость движения, во столько же раз уменьшается время на прохождение одного и того же расстояния.

Замечание. При решении конкретных задач с обратно пропор­циональными или прямо пропорциональными величинами наклады­ваются некоторые ограничения на х и у, в частности, они могут рассматриваться не на всем множестве действительных чисел, а на его подмножествах.

Задача 3. Лена купила х карандашей, а Катя в 2 раза больше. Обозначьте число карандашей, купленных Катей, через у, выразите у через х и постройте график установленного соответствия при усло­вии, что х£5. Является ли это соответствие функцией? Какова ее область определения и область значений?

Решение. Катя купила у=2х карандашей. При построении графика функции у=2х необходимо учесть, что переменная х — обозначает количество карандашей и х£5, значит, она может принимать только значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Это и будет область определения данной функции. Чтобы получить область значений данной функции, надо каждое значение х из области определения умножить на 2, т.е. это будет множество {0, 2, 4, 6, 8, 10}.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА

Цель. Раскрыть теоретические основы формирования функциональной зависимости в курсе начальной математики.


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.6%
НЕТ
41.4%
Проголосовало: 988

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет