Описание презентации по отдельным слайдам:
-
1 слайд
Комбинаторика
-
2 слайд
«Число, место и комбинация – три взаимно перекрещивающиеся, но отличные сферы мышления, к которым можно отнести все математические идеи».
Дж. Сильвестр -
3 слайд
Перестановки:
Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.
Pn = n!
Задача. Сколькими способами можно развесить 5 цветных шаров на гирлянде? -
4 слайд
Размещения:
Размещениями из n элементов по m (m≤n) называются упорядоченные m -элементные выборки из данных n элементов.
Задача. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 4, 6, 7, 8, если никакую цифру не использовать более одного раза? -
5 слайд
Задачи:
1. Сколько слов можно образовать из букв слова фрагмент, если слова должны состоять:
а) из 8 букв;
б) из 3 букв?
2. Студенту необходимо сдать 4 экзамена в течение десяти дней. Сколькими способами можно составить ему расписание экзаменов?
3. Сколькими способами можно расставить на полке семь книг?
4. Сколькими способами 5 человек из 30 участников олимпиады могут занять первые пять мест?
5. Сколькими способами можно из 30 учеников выбрать 5 человек для уборки территории? -
6 слайд
Сочетания:
Сочетаниямииз n элементов по m (m≤n) называются неупорядоченные m-элементные выборки из данных n элементов.
Все сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.
Порядок элементов здесь не важен. -
7 слайд
Комбинации без повторений
Перестановки
(выбор n из n)
Pn = n!
Порядок важен
Порядок не важен
Размещения
(выбор k из n)Cочетания
(выбор k из n) -
8 слайд
Треугольник Паскаля
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
С0k
С1k
С2k
С3k
С4k
С5k
С6k
С7k -
9 слайд
Треугольник Паскаля и бином Ньютона
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 1
1 7 21 35 35 21 1 -
10 слайд
Треугольник Паскаля
«Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике.»
Мартина Гарднера «Математические новеллы» -
11 слайд
Свойства треугольника Паскаля
Сумма чисел в каждой строке треугольника равно 2n , т.е. сумме всех подмножеств.
Первая слева диагональ – натуральный ряд чисел, вторая диагональ – треугольные числа, третья — пирамидальные -
12 слайд
Свойства треугольника Паскаля
Каждое число, уменьшенное на 1, есть сумма чисел параллелограмма, ограниченного правой и левой диагональю , на пересечении которых находится это число. -
13 слайд
Свойства треугольника Паскаля
Каждое число равно сумме чисел предыдущей диагонали, стоящей над этим числом.
1+3+6+10=20
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1 -
14 слайд
Свойства треугольника Паскаля
Если номер строки – простое число, то каждое число этой строки (кроме 1) делится на ее номер.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1 -
15 слайд
Свойства треугольника Паскаля
Если четное число заменить на точки белого цвета, а нечетные на точки черного цвета, то получатся новые треугольники. -
16 слайд
Перестановки с повторениями
Задача. Сколько можно составить слов из букв слова математика?Задача. Сколько можно сделать различных погремушек из 3 белых и 7 красных шариков, если использовать все шарики?
-
17 слайд
Перестановки с повторениями
Комбинации из n элементов, в которых один элемент повторяется n1 раз, другой n2 раз, …, nk- называются перестановками с повторениями. -
18 слайд
Размещения с повторениями
Задача. В алфавите 32 буквы. Сколько можно составить из них трехбуквенных слов?Задача. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых нечетны?
-
19 слайд
Размещения с повторениями
Комбинации из n элементов по k с учетом порядка, в которых каждый элемент может быть взят в любом количестве называются размещениями с повторениями. -
20 слайд
Сочетания с повторениями
Задача. В магазине 4 сорта пирожных. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?Задача. В магазине 5 сортов цветов: роза, гвоздика, хризантема, ромашка, астра? Сколько можно составить букетов, если в букете 3 цветка?
-
21 слайд
Сочетания с повторениями
Комбинации из n элементов по k без учета порядка, в которых каждый элемент может быть взят в любом количестве называются сочетаниями с повторениями. -
22 слайд
Сочетания с повторениями
Задача. В магазине 5 сортов цветов: роза, гвоздика, хризантема, ромашка, астра? Сколько можно составить букетов, если в букете 3 цветка?
-
23 слайд
Теория вероятности есть ни что иное, как здравый смысл, сведённый к исчислению.
ЛапласТеория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
-
24 слайд
Cлучайным называется событие, которое в результате испытания может произойти, а может не произойти..
А={завтра пойдет снег}Достоверным называется событие, которое в результате испытания должно произойти.
В={при бросании кубика выпадет число меньше 7}Невозможным называется событие, которое произойти не может.
В={при бросании кубика выпадет 7} -
25 слайд
Укажите, какие из следующих событий невозможные, какие — достоверные, какие — случайные:
А={футбольный матч «Спартак» — «Динамо» закончится вничью};
В={вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее};
С={в полночь выпадет снег, а через 24 часа будет светить солнце};
Т={завтра будет контрольная по математике};
Е={30 февраля будет дождь};
Р={вас изберут президентом США};
K={вас изберут президентом России}. -
26 слайд
Абсолютная частота события – это количество его выпадений в ходе испытания.
Относительная частота события – это отношение числа выпадений к числу всех испытаний.Статистическая вероятность
-
27 слайд
Вероятностью события А называется отношение числа m исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов испытания n.
Классическое определение вероятности -
28 слайд
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.
Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать Ā.
Алгебра событий
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Р(А) + Р(Ā)=1. -
29 слайд
Задача 1.
Попадание и промах при выстреле по цели — противоположные события. Если А — попадание, то Ā — промах.
Пусть Р(А)=0,9, найти вероятность промаха.
Р(Ā)=1-0,9=0,1
Задача 2.
Вероятность того, что день будет дождливым, р = 0,7. Найти вероятность того, что день будет ясным. -
30 слайд
Алгебра событий
A
B
AB
Объединение (сумма) событий
Происходит одно из двух событий
Пусть событие A – попадание в цель первым стрелком, событие B – попадание в цель вторым стрелком. Суммой событий A и B является событие C, состоящее в попадании в цель хотя бы одним стрелком. -
31 слайд
Задача 3. Бросают две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба.
Решение.
А – {выпал герб на первой монете}
В – {выпал герб на второй монете}
С – {выпал герб хотя бы на одной монете}
С=АВ -
32 слайд
Задача 4. Три склада боеприпасов расположены рядом. При попадании бомбы в любой склад, все склады взрываются. Вероятность попадания в 1-ый склад – 0,01, во второй – 0,008, в третий – 0,025. Какова вероятность, что склады будут уничтожены одной бомбой?
-
33 слайд
Совместные и несовместные события
События называются несовместными, если они вместе не могут наблюдаться в одном и том же опытеПример: Бросается кубик.
А-{выпало 1 очко}
В-{выпало 4 очка}
С –{выпало четное очко}
События А и В несовместны,
события В и С совместны -
34 слайд
Примеры несовместных событий
выпадение орла и решки в результате одного бросания монеты;
· выпадение на верхней грани игральной кости чисел 2 и 3 или любых двух чисел от 1 до 6 при ее однократном бросании;
· попадание и промах при одном выстреле по мишени. -
35 слайд
Совместные и несовместные события
Вероятность объединения несовместный событий находят по формуле:
Р(АВ)=Р(А)+Р(В)
Вероятность объединения совместный событий находят по формуле:
Р(АВ)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) -
36 слайд
Задача.
Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1; вероятность выбить 9 очков равна 0,3; вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков. -
37 слайд
Алгебра событий
A
B
AB
Пересечение (произведение) событий
Происходят одновременно оба события
Пусть событие A – попадание в цель первым стрелком, событие B – попадание в цель вторым стрелком. Пересечением событий A и B является событие C, состоящее в попадании в цель обоими стрелками. -
38 слайд
Задача 5. Бросают две монеты. Какова вероятность двухкратного выпадения орла.
Решение.
А – {выпал орел на первой монете}
В – {выпал орел на второй монете}
С – {выпал орел на обоих монетах}
С=АВ -
39 слайд
Задача 6. В ящике 8 белых и 5 красных шаров. Дважды вынимают шар и кладут его обратно. Какова вероятность, что оба раза будет вынут красный шар?
Задача 7. В ящике 8 белых и 5 красных шаров. Вынимают по очереди два шара. Какова вероятность, что оба раза будет вынут красный шар?
А – {первый раз вынут красный шар}
В – {второй раз вынут красный шар} -
40 слайд
Независимые и зависимые события
События А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого.
Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. -
41 слайд
Независимые и зависимые события
Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
.
Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
Р(АВ)=Р(А)Р(В)
.
Вероятность произведения зависимых событий А и В вычисляется по формуле:
Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)
. -
42 слайд
Независимые и зависимые события
Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
.
Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,1. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Аi — «Перегорела i-ая лампа» — независимые события.
А — «Перегорели все три»,
А – «Хотя бы одна не перегорела»
Р(А) = Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)
Р(А) = 1 — Р(А) -
43 слайд
Независимые и зависимые события
Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
.
Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень
при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист
первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат
округлите до сотых.
.
Аi — «Попал i-ый раз» — независимые события.
А — «Попал все три раза»,
Р(А) = Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)
Аналогично промахнулся -
44 слайд
Независимые и зависимые события
Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
.
На кассе универсама продаются леденцы. В какой-то момент в коробке осталось 10 красных, 9 синих и 6 зеленых леденцов. Таня, Ваня и Маня по очереди именно в таком порядке покупают по одному леденцу. Кассир не глядя достает леденцы из коробки. Найдите вероятность того, что Таня и Маня получат синие леденцы, а Ваня — красный. Ответ округлите до сотых.
Р(«Таня — синий»)=9/25
Р(«Маня — синий»)=8/24 События зависимы -
45 слайд
Независимые и зависимые события
Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
.
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причѐм во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Р(А/H1)=0,5 (H1 – играет белыми)
Р(А/H2)=0,3 (H2 – играет черными)
. -
46 слайд
Формула полной вероятности
Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
.
Р(А)=Р(Н1)Р(А/Н1)+ Р(Н2)Р(А/Н2)+…
+ Р(Нк)Р(А/Нк)
.
Если событие A может произойти только при выполнении одного из событий Н1, Н2,…,Нk, которые образуют полную группу событий, то вероятность события A определяется по формуле полной вероятности: -
47 слайд
Формула полной вероятности
Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
.
Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнется.Ответ: 1,2
-
48 слайд
Формула полной вероятности
Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
.
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло является бракованным.Ответ: 1,2
-
49 слайд
Формула Байеса
Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
.
Если событие A может произойти только при выполнении одного из событий полной группы {Н} и событие A случилось, то вероятность гипотезы, что при этом случилось событие Нi, определяется формулой Байеса: -
50 слайд
Формула Байеса
Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
.
Двигатель работает в трех режимах: нормальном (65% времени), форсированном (25% времени) и холостом. Вероятность поломки в каждом из режимов соответственно равна p1=0,1; p2=0,8; p3=0,05.
а) найдите вероятность поломки двигателя во время работы;
б) двигатель сломался. Какова вероятность, что он в этот момент работал в форсированном режиме? -
51 слайд
Формула Байеса
Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
.
В состязании лучников участвуют три стрелка. Вероятность попадания в мишень для каждого из них равна 0,3; 0,5 и 0,7. Один из стрелков стреляет и не попадает. Какова вероятность, что это был:
а) первый стрелок;
б) второй стрелок;
в) третий стрелок; -
52 слайд
Формула Байеса
Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
.
Полная вероятность:P(A)=∑i=13P(Bi)⋅P(A|Bi)=730+16+110=0,5Промах произошел. Находим апостериорные вероятности для каждого стрелка:P(B1|A)=P(B1)⋅P(A|B1)P(A)=7/300,5=715≈0,467P(B2|A)=P(B2)⋅P(A|B2)P(A)=1/60,5=23≈0,333P(B3|A)=P(B3)⋅P(A|B3)P(A)=1/100,5=15=0,2С точки зрения практической, можно сказать, что «вероятнее всего», это был первый стрелок.Ответ: a) 715; б) 13; в) 15
П -
53 слайд
Формула Байеса
Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
.
Три фрилансера на площадке выполняют заказы в отношении по количеству 3:4:3. Доля успешно выполненных заказов для каждого из них составляет 98%, 95% и 90%.
а) найдите вероятность успешного выполнения заказа на площадке;
б) найдите вероятность неуспеха на площадке;
в) кто из фрилансеров, вероятнее всего, виноват в неуспешной работе? -
54 слайд
Формула Байеса
Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
.
Вероятность успешного выполнения (полная вероятность):P(A)=∑i=13P(Bi)⋅P(A|Bi)=0,944
б) Вероятность неуспеха (противоположное событие):P(A¯)=1−P(A)=1−0,944=0,056
в) Вероятность неуспеха
P(A¯|Bi)P(Bi)⋅P(A¯|Bi)10,31-0,98=0,020,00620,41-0,95=0,050,0230,31-0,9=0,10,03∑1×0,056
P(B1|A¯)=P(B1)⋅P(A¯|B1)P(A¯)=0,0060,056=328≈0,107
P(B2|A¯)=P(B2)⋅P(A¯|B2)P(A¯)=0,020,056=514≈0,357
P(B3|A¯)=P(B3)⋅P(A¯|B3)P(A¯)=0,030,056=1528≈0,536
Наибольшая вероятность неуспеха – у третьего фрилансера.Ответ: а) 0,944; б) 0,056; в) третий фрилансер.
-
55 слайд
Формула Бернулли
Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
.
Рnm=Cnm pn (1-p)m
.
Вероятность того, что в n независимых испытаниях некоторое случайное событие наступит ровно m раз, равна:
где р– вероятность появления события в каждом испытании -
56 слайд
Формула Бернулли
Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
.
Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?Ответ: 1,2
