X-PDF

Разговоры о важном

Поделиться статьей

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • Комбинаторика

    1 слайд

    Комбинаторика

  • «Число,

    2 слайд

    «Число, место и комбинация – три взаимно перекрещивающиеся, но отличные сферы мышления, к которым можно отнести все математические идеи».
    Дж. Сильвестр

  • Перестановки:

    3 слайд

    Перестановки:
    Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.
    Pn = n!
    Задача. Сколькими способами можно развесить 5 цветных шаров на гирлянде?

  • Размещения:

    4 слайд

    Размещения:
    Размещениями из n элементов по m (m≤n) называются упорядоченные m -элементные выборки из данных n элементов.
    Задача. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 4, 6, 7, 8, если никакую цифру не использовать более одного раза?

  • Задачи:

    5 слайд

    Задачи:
    1. Сколько слов можно образовать из букв слова фрагмент, если слова должны состоять:
    а) из 8 букв;
    б) из 3 букв?
    2. Студенту необходимо сдать 4 экзамена в течение десяти дней. Сколькими способами можно составить ему расписание экзаменов?
    3. Сколькими способами можно расставить на полке семь книг?
    4. Сколькими способами 5 человек из 30 участников олимпиады могут занять первые пять мест?
    5. Сколькими способами можно из 30 учеников выбрать 5 человек для уборки территории?

  • Сочетания:

    6 слайд

    Сочетания:
    Сочетаниямииз n элементов по m (m≤n) называются неупорядоченные m-элементные выборки из данных n элементов.
    Все сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.
    Порядок элементов здесь не важен.

  • Комбинации

    7 слайд

    Комбинации без повторений
    Перестановки
    (выбор n из n)
    Pn = n!
    Порядок важен
    Порядок не важен
    Размещения
    (выбор k из n)

    Cочетания
    (выбор k из n)

  • Треугольник

    8 слайд

    Треугольник Паскаля
    1
    1 1
    1 2 1
    1 3 3 1
    1 4 6 4 1
    1 5 10 10 5 1
    1 6 15 20 15 6 1
    1 7 21 35 35 21 7 1
    С0k
    С1k
    С2k
    С3k
    С4k
    С5k
    С6k
    С7k

  • Треугольник

    9 слайд

    Треугольник Паскаля и бином Ньютона
    1
    1 1
    1 2 1
    1 3 3 1
    1 4 6 4 1
    1 5 10 10 5 1
    1 6 15 20 15 1
    1 7 21 35 35 21 1

  • Треугольник

    10 слайд

    Треугольник Паскаля
    «Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике.»
    Мартина Гарднера «Математические новеллы»

  • Свойства

    11 слайд

    Свойства треугольника Паскаля
    Сумма чисел в каждой строке треугольника равно 2n , т.е. сумме всех подмножеств.
    Первая слева диагональ – натуральный ряд чисел, вторая диагональ – треугольные числа, третья — пирамидальные

  • Свойства

    12 слайд

    Свойства треугольника Паскаля
    Каждое число, уменьшенное на 1, есть сумма чисел параллелограмма, ограниченного правой и левой диагональю , на пересечении которых находится это число.

  • Свойства

    13 слайд

    Свойства треугольника Паскаля
    Каждое число равно сумме чисел предыдущей диагонали, стоящей над этим числом.
    1+3+6+10=20
    1
    1 1
    1 2 1
    1 3 3 1
    1 4 6 4 1
    1 5 10 10 5 1
    1 6 15 20 15 6 1
    1 7 21 35 35 21 7 1

  • Свойства

    14 слайд

    Свойства треугольника Паскаля
    Если номер строки – простое число, то каждое число этой строки (кроме 1) делится на ее номер.
    1
    1 1
    1 2 1
    1 3 3 1
    1 4 6 4 1
    1 5 10 10 5 1
    1 6 15 20 15 6 1
    1 7 21 35 35 21 7 1

  • Свойства

    15 слайд

    Свойства треугольника Паскаля
    Если четное число заменить на точки белого цвета, а нечетные на точки черного цвета, то получатся новые треугольники.

  • Перестановки

    16 слайд

    Перестановки с повторениями
    Задача. Сколько можно составить слов из букв слова математика?

    Задача. Сколько можно сделать различных погремушек из 3 белых и 7 красных шариков, если использовать все шарики?

  • Перестановки

    17 слайд

    Перестановки с повторениями
    Комбинации из n элементов, в которых один элемент повторяется n1 раз, другой n2 раз, …, nk- называются перестановками с повторениями.

  • Размещения

    18 слайд

    Размещения с повторениями
    Задача. В алфавите 32 буквы. Сколько можно составить из них трехбуквенных слов?

    Задача. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых нечетны?

  • Размещения

    19 слайд

    Размещения с повторениями
    Комбинации из n элементов по k с учетом порядка, в которых каждый элемент может быть взят в любом количестве называются размещениями с повторениями.

  • Сочетания

    20 слайд

    Сочетания с повторениями
    Задача. В магазине 4 сорта пирожных. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

    Задача. В магазине 5 сортов цветов: роза, гвоздика, хризантема, ромашка, астра? Сколько можно составить букетов, если в букете 3 цветка?

  • Сочетания

    21 слайд

    Сочетания с повторениями
    Комбинации из n элементов по k без учета порядка, в которых каждый элемент может быть взят в любом количестве называются сочетаниями с повторениями.

  • Сочетания

    22 слайд

    Сочетания с повторениями

    Задача. В магазине 5 сортов цветов: роза, гвоздика, хризантема, ромашка, астра? Сколько можно составить букетов, если в букете 3 цветка?

  • Теория

    23 слайд

    Теория вероятности есть ни что иное, как здравый смысл, сведённый к исчислению.
    Лаплас

    Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

  • Cлучайным

    24 слайд

    Cлучайным называется событие, которое в результате испытания может произойти, а может не произойти..
    А={завтра пойдет снег}

    Достоверным называется событие, которое в результате испытания должно произойти.
    В={при бросании кубика выпадет число меньше 7}

    Невозможным называется событие, которое произойти не может.
    В={при бросании кубика выпадет 7}

  • Укажите,

    25 слайд

    Укажите, какие из следующих событий невозможные, какие — достоверные, какие — случайные:
    А={футбольный матч «Спартак» — «Динамо» закончится вничью};
    В={вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее};
    С={в полночь выпадет снег, а через 24 часа будет светить солнце};
    Т={завтра будет контрольная по математике};
    Е={30 февраля будет дождь};
    Р={вас изберут президентом США};
    K={вас изберут президентом России}.

  • Абсолютная

    26 слайд

    Абсолютная частота события – это количество его выпадений в ходе испытания.
    Относительная частота события – это отношение числа выпадений к числу всех испытаний.

    Статистическая вероятность

  • Вероятностью

    27 слайд

    Вероятностью события А называется отношение числа m исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов испытания n.
    Классическое определение вероятности

  • Противоположными

    28 слайд

    Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.
    Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать Ā.
    Алгебра событий
    Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Р(А) + Р(Ā)=1.

  • Задача

    29 слайд

    Задача 1.
    Попадание и промах при выстреле по цели — противоположные события. Если А — попадание, то Ā — промах.
    Пусть Р(А)=0,9, найти вероятность промаха.
    Р(Ā)=1-0,9=0,1
    Задача 2.
    Вероятность того, что день будет дождливым, р = 0,7. Найти вероятность того, что день будет ясным.

  • Алгебра

    30 слайд

    Алгебра событий
    A
    B
    AB
    Объединение (сумма) событий
    Происходит одно из двух событий
    Пусть событие A – попадание в цель первым стрелком, событие B – попадание в цель вторым стрелком. Суммой событий A и B является событие C, состоящее в попадании в цель хотя бы одним стрелком.

  • Задача

    31 слайд

    Задача 3. Бросают две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба.
    Решение.
    А – {выпал герб на первой монете}
    В – {выпал герб на второй монете}
    С – {выпал герб хотя бы на одной монете}
    С=АВ

  • Задача

    32 слайд

    Задача 4. Три склада боеприпасов расположены рядом. При попадании бомбы в любой склад, все склады взрываются. Вероятность попадания в 1-ый склад – 0,01, во второй – 0,008, в третий – 0,025. Какова вероятность, что склады будут уничтожены одной бомбой?

  • Совместные

    33 слайд

    Совместные и несовместные события
    События называются несовместными, если они вместе не могут наблюдаться в одном и том же опыте

    Пример: Бросается кубик.
    А-{выпало 1 очко}
    В-{выпало 4 очка}
    С –{выпало четное очко}
    События А и В несовместны,
    события В и С совместны

  • Примеры

    34 слайд

    Примеры несовместных событий
    выпадение орла и решки в результате одного бросания монеты;
    · выпадение на верхней грани игральной кости чисел 2 и 3 или любых двух чисел от 1 до 6 при ее однократном бросании;
    · попадание и промах при одном выстреле по мишени.

  • Совместные

    35 слайд

    Совместные и несовместные события
    Вероятность объединения несовместный событий находят по формуле:
    Р(АВ)=Р(А)+Р(В)
    Вероятность объединения совместный событий находят по формуле:
    Р(АВ)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

  • Задача.

    36 слайд

    Задача.
    Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1; вероятность выбить 9 очков равна 0,3; вероят­ность выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.

  • Алгебра

    37 слайд

    Алгебра событий
    A
    B
    AB
    Пересечение (произведение) событий
    Происходят одновременно оба события
    Пусть событие A – попадание в цель первым стрелком, событие B – попадание в цель вторым стрелком. Пересечением событий A и B является событие C, состоящее в попадании в цель обоими стрелками.

  • Задача

    38 слайд

    Задача 5. Бросают две монеты. Какова вероятность двухкратного выпадения орла.
    Решение.
    А – {выпал орел на первой монете}
    В – {выпал орел на второй монете}
    С – {выпал орел на обоих монетах}
    С=АВ

  • Задача

    39 слайд

    Задача 6. В ящике 8 белых и 5 красных шаров. Дважды вынимают шар и кладут его обратно. Какова вероятность, что оба раза будет вынут красный шар?
    Задача 7. В ящике 8 белых и 5 красных шаров. Вынимают по очереди два шара. Какова вероятность, что оба раза будет вынут красный шар?
    А – {первый раз вынут красный шар}
    В – {второй раз вынут красный шар}

  • Независимые

    40 слайд

    Независимые и зависимые события
    События А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого.
    Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

  • Независимые

    41 слайд

    Независимые и зависимые события
    Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
    .
    Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
    Р(АВ)=Р(А)Р(В)
    .
    Вероятность произведения зависимых событий А и В вычисляется по формуле:
    Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)
    .

  • Независимые

    42 слайд

    Независимые и зависимые события
    Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
    .
    Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,1. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
    Аi — «Перегорела i-ая лампа» — независимые события.
    А — «Перегорели все три»,
    А – «Хотя бы одна не перегорела»
    Р(А) = Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)
    Р(А) = 1 — Р(А)

  • Независимые

    43 слайд

    Независимые и зависимые события
    Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
    .
    Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень
    при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист
    первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат
    округлите до сотых.
    .
    Аi — «Попал i-ый раз» — независимые события.
    А — «Попал все три раза»,
    Р(А) = Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)
    Аналогично промахнулся

  • Независимые

    44 слайд

    Независимые и зависимые события
    Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
    .
    На кассе универсама продаются леденцы. В какой-то момент в коробке осталось 10 красных, 9 синих и 6 зеленых леденцов. Таня, Ваня и Маня по очереди именно в таком порядке покупают по одному леденцу. Кассир не глядя достает леденцы из коробки. Найдите вероятность того, что Таня и Маня получат синие леденцы, а Ваня — красный. Ответ округлите до сотых.
    Р(«Таня — синий»)=9/25
    Р(«Маня — синий»)=8/24 События зависимы

  • Независимые

    45 слайд

    Независимые и зависимые события
    Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
    .
    Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причѐм во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
    Р(А/H1)=0,5 (H1 – играет белыми)
    Р(А/H2)=0,3 (H2 – играет черными)
    .

  • Формула

    46 слайд

    Формула полной вероятности
    Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
    .
    Р(А)=Р(Н1)Р(А/Н1)+ Р(Н2)Р(А/Н2)+…
    + Р(Нк)Р(А/Нк)
    .
    Если событие A может произойти только при выполнении одного из событий Н1, Н2,…,Нk, которые образуют полную группу событий, то вероятность события A определяется по формуле полной вероятности:

  • Формула

    47 слайд

    Формула полной вероятности
    Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
    .
    Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнется.

    Ответ: 1,2

  • Формула

    48 слайд

    Формула полной вероятности
    Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
    .
    Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло является бракованным.

    Ответ: 1,2

  • Формула

    49 слайд

    Формула Байеса
    Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
    .
    Если событие A может произойти только при выполнении одного из событий полной группы {Н} и событие A случилось, то вероятность гипотезы, что при этом случилось событие Нi, определяется формулой Байеса:

  • Формула

    50 слайд

    Формула Байеса
    Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
    .
    Двигатель работает в трех режимах: нормальном (65% времени), форсированном (25% времени) и холостом. Вероятность поломки в каждом из режимов соответственно равна p1=0,1; p2=0,8; p3=0,05.
    а) найдите вероятность поломки двигателя во время работы;
    б) двигатель сломался. Какова вероятность, что он в этот момент работал в форсированном режиме?

  • Формула

    51 слайд

    Формула Байеса
    Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
    .
    В состязании лучников участвуют три стрелка. Вероятность попадания в мишень для каждого из них равна 0,3; 0,5 и 0,7. Один из стрелков стреляет и не попадает. Какова вероятность, что это был:
    а) первый стрелок;
    б) второй стрелок;
    в) третий стрелок;

  • Формула

    52 слайд

    Формула Байеса
    Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
    .
    Полная вероятность:P(A)=∑i=13P(Bi)⋅P(A|Bi)=730+16+110=0,5Промах произошел. Находим апостериорные вероятности для каждого стрелка:P(B1|A)=P(B1)⋅P(A|B1)P(A)=7/300,5=715≈0,467P(B2|A)=P(B2)⋅P(A|B2)P(A)=1/60,5=23≈0,333P(B3|A)=P(B3)⋅P(A|B3)P(A)=1/100,5=15=0,2С точки зрения практической, можно сказать, что «вероятнее всего», это был первый стрелок.

    Ответ: a) 715; б) 13; в) 15
    П

  • Формула

    53 слайд

    Формула Байеса
    Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
    .
    Три фрилансера на площадке выполняют заказы в отношении по количеству 3:4:3. Доля успешно выполненных заказов для каждого из них составляет 98%, 95% и 90%.
    а) найдите вероятность успешного выполнения заказа на площадке;
    б) найдите вероятность неуспеха на площадке;
    в) кто из фрилансеров, вероятнее всего, виноват в неуспешной работе?

  • Формула

    54 слайд

    Формула Байеса
    Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
    .
    Вероятность успешного выполнения (полная вероятность):P(A)=∑i=13P(Bi)⋅P(A|Bi)=0,944
    б) Вероятность неуспеха (противоположное событие):P(A¯)=1−P(A)=1−0,944=0,056
    в) Вероятность неуспеха
    P(A¯|Bi)P(Bi)⋅P(A¯|Bi)10,31-0,98=0,020,00620,41-0,95=0,050,0230,31-0,9=0,10,03∑1×0,056
    P(B1|A¯)=P(B1)⋅P(A¯|B1)P(A¯)=0,0060,056=328≈0,107
    P(B2|A¯)=P(B2)⋅P(A¯|B2)P(A¯)=0,020,056=514≈0,357
    P(B3|A¯)=P(B3)⋅P(A¯|B3)P(A¯)=0,030,056=1528≈0,536
    Наибольшая вероятность неуспеха – у третьего фрилансера.

    Ответ: а) 0,944; б) 0,056; в) третий фрилансер.

  • Формула

    55 слайд

    Формула Бернулли
    Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
    .
    Рnm=Cnm  pn (1-p)m
    .
    Вероятность  того, что в n независимых испытаниях некоторое случайное событие  наступит ровно m раз, равна:
     где р– вероятность появления события  в каждом испытании

  • Формула

    56 слайд

    Формула Бернулли
    Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
    .
    Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

    Ответ: 1,2


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.58%
НЕТ
41.42%
Проголосовало: 985

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет