ФАКУЛЬТАТИВНЫЙКУРС «ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА» В 7-8 КЛАССАХ
Факультативныйкурс «простые и составные числа» в 7-8 классах средней школы.
Аннотация.Вданной статье я разбираю основные вопросы о факультативных занятиях и ихзначимость в математике, в учебном процессе средней школе, основную теориюпростых и составных чисел и разбираю некоторые примеры.
Ключевыеслова. Факультативныезанятия, простые числа, составные числа, натуральные числа, образование,учащиеся, преподавание.
OPTIONAL COURSESIMPLE AND COMPOSITE NUMBERS IN GRADES 7-8
Annotation. In this article,I analyze the main questions about elective classes and their significance inmathematics, in the educational process of high school, the basic theory ofprime and composite numbers, and analyze some examples.
Keywords. Electives, primes,composite numbers, natural numbers, education, students, teaching.
Сегодняобразование рассматривается как сфера социальной жизни, создающая условия дляразвития и саморазвития индивида в процессе освоения ценностей культуры.Федеральный закон «Об образовании в Российской Федерации». — Москва: Проспект,2018. -192 с. «Образование — единый целенаправленный процесс воспитания иобучения являющийся общественно значимым благом и осуществляемый в интересахчеловека, семьи, общества и государства, а также совокупность приобретаемыхзнаний, умений, навыков, ценностных установок, опыта деятельности и компетенцииопределенных объема и сложности в целях интеллектуального,духовно-нравственного, творческого, физического и (или) профессиональногоразвития человека, удовлетворения его образовательных потребностей иинтересов.» [3, с.4 ]
Цельюорганизации факультативных занятий по математике является прежде всегорасширение кругозора учащихся, развитие математического мышления, формированиеактивного познавательного интереса к предмету, развитие мировоззрения и рядаличных качеств путем углубленного изучения математики. Факультативные занятияспособствуют профессиональной ориентации студентов в области математики и ееприменения, тем самым облегчая выбор специальности и ее последующее улучшение.
Факультативныезанятия играют важную роль в улучшении школьного образования, включаяматематику. Они позволяют экспериментально искать и тестировать новоесодержание, новые методы обучения и варьировать объем и сложность изучаемогоматериала в широком диапазоне. В настоящее время организация необязательныхклассов начинается с седьмого класса. Дополнительные группы из 15-20 (илиболее) человек создаются из учеников параллельных классов. Также возможносоздание объединенных групп учеников последовательных классов (7-8 или 9-10);также могут быть организованы межшкольные группы. Для успеха факультативногокурса необходимо, если это позволяют только конкретные условия, включить их вшкольное расписание, не допускать перерывов и отсрочек занятий.
Рогановский,Н.М. в своей книге определяет задачи факультативных занятий так «Общие цели изадачи факультативных занятий по математике в VII-XI классах. В настоящее времяведется интенсивная разработка и корректировка нормативного иучебно-методического обеспечения математического образования в условияхсовременной образовательной среды общеобразовательных учреждений, повышениикачества обучения предметам естественно-математического цикла с учетом запросови потребностей общества. Частью этой разработки является создание методическихматериалов для организации и проведения факультативных занятий по предметаместественно-математического цикла в условиях современной образовательной среды.Основной задачей факультативных занятий является создание максимальноблагоприятных условий для интеллектуального развития учащихся в соответствии сих интересами, целями, способностями и потребностями. На факультативныхзанятиях учащиеся имеют возможность, прежде всего, совершенствовать знания,получаемые на уроках, приобрести умения решать более трудные и разнообразныезадачи.» [2, с.297]
Ещедо введения факультативных занятий в нашей стране существовал определенныйнабор форм математической подготовки учащихся. Широко развивались не толькокружки и школы юных натуралистов, математические олимпиады, но и школы и классыс математической специализацией. Обучение математике предоставил возможностьдля учеников, которые показывают способности и навыки в области математики дляповышения уровня их математического развития, чтобы получить дополнительныезнания, умения и навыки, по сравнению с требованиями обязательный курс. Ксожалению, школьные программы не безграничны и не могут содержать все разделыматематики. Среди способов решения этой проблемы одно из главных местпринадлежит введению факультативных классов в общеобразовательных школах. Общаяобразовательная функция выборных классов заключается в предоставлении студентамвозможностей, проявляющих интерес и отношение к предмету, приобретатьдополнительные знания, навыки и умения по этой теме. В этом смысле выборныеклассы являются частью системы повышения квалификации учащихся, являясь однойиз ее составляющих. Факультативы-это нечто среднее между лекциями ивнеклассными мероприятиями. К первому они присоединяются наличием программы, ако второму свободным выбором учеников.
Существуеттесная взаимосвязь между преподаванием и внеклассным обучением и внекласснойдеятельностью: учебные занятия, которые стимулируют интерес учащихся к знаниям,облегчают развертывание факультативных занятий, и наоборот, факультативныезанятия, которые углубляют эти знания, повышают успеваемость учащихся и интереск преподаванию. Однако внеклассная работа не должна дублировать обучение науроке, иначе она превратится в обычные дополнительные занятия. Говоря осодержании урока, учащиеся, интересующиеся математикой, отметим следующее.Традиционная тема факультативных сессий, как правило, ограничиваласьрассмотрением вопросов, которые, хотя и не охватывались официальной повесткойдня, имели много точек соприкосновения с рассматриваемыми вопросами. Например,при изучении в 5 классе признаков делимости натуральных чисел в классахматематического кружка признаки делимости чисел не предусмотрены программой(признак делимости на 7, на 11 И т. д.).
Рассмотрим«простые и составные числа» на факультативных занятиях.
Каждоенатуральное число р имеет по крайней мере два положи тельных делителя: 1иn.Существуют натуральные числа, которые не имеют положительных делителей,отличных от 1 и самого себя.
Определение1.Натуральное число р называется простым, если p>1 и р не имеетположительных делителей, отличных от 1 и р. Будем обозначать простые числачерез р. Первые простые числа в натуральном ряду:
2,3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ….
Определение2.Натуральное число n >1называется составным, если n имеет по крайней мере один положительный делитель,отличный от 1 и n.
Согласноэтому определению, если n — составное число, то у n имеется делитель а, такой,что n= a*b, где b =
тоже такое, что 1 < b < n.
Согласноопределениям 1 и 2 множество натуральных чисел разбивается на три подмножества:1) простые числа, 2) составные числа и 3) число 1, которое не причисляется ни кпростым, ни к составным.
Свойствапростых чисел:
1. Любоенатуральное число (большее единицы) либо делится на это простое число p, либоявляется соизмеримым с ним.
2. Еслипроизведение нескольких множителей делится на простое число p, то хотябы один из множителей делится на p.
3. Наименьшийпростой делитель составного числа a не должен 
.
Однимиз величайших достижений математики 19-го века была теорема о простом числе, иона заслуживает краткого отступления. Для начала обозначим число простых чисел,меньшее или равное n на π (n). Таким образом, π (10) = 4, потому что 2, 3, 5 и7 являются четырьмя простыми числами, не превышающими 10. Аналогично π(25) = 9и π(100) = 25. Далее рассмотрим долю чисел, меньших или равных n, которыеявляются простыми, т. е. π (n)/n. Очевидно π (10)/10 = 0.40, что означает, что40 процентов чисел, не превышающих 10, являются простыми. Закономерность далеконе ясна, но теорема о простых числах идентифицирует ее, по крайней мереприблизительно, и тем самым дает правило для распределения простых чисел среди целых.Теорема гласит, что для больших n пропорция π(n)/n примерно равна 1/log n, гдеlog n — натуральный логарифм n. Эта связь между простыми числами илогарифмами-не что иное, как нечто экстраординарное.
Однимиз первых это понял молодой Гаусс, чье изучение логарифмических таблиц ипростых чисел подсказало это его богатому уму. После использования Дирихлеаналитических методов в теории чисел Бернхард Риман (1826-66) и ПафнутийЧебышев (1821-94) значительно продвинулись вперед, прежде чем Теорема о простыхчислах была доказана в 1896 году Жаком Адамаром (1865-1963) и Шарлем Жаном дела Валле-Пуссеном (1866-1962). Это привело к триумфальному завершению XIX века.
Числамогут быть классифицированы на основе количества факторов, которые они имеют.Если число имеет только два множителя — 1 и само число, то это простое число.Однако большинство чисел имеют более двух факторов, и они называются составнымичислами. На этой странице мы узнаем разницу между простыми и составнымичислами, наименьшим составным числом и нечетными составными числами. Последнееинтересно тем, что существует несколько нечетных составных чисел, в отличие от2, которое является единственным четным простым числом.
Составныечисла могут быть определены как натуральные числа, которые имеют более двухфакторов. Другими словами, число, которое делится на число, отличное от 1, исамо число, называется составным числом. Давайте узнаем больше о составныхчислах на примерах.
Примерысоставных чисел: 4, 6, 8, 9 и 10-это первые составные числа. Возьмем 4 и 6. Вприведенном выше примере 4 и 6 называются составными числами, потому что ониобразуются путем объединения других чисел. Эта идея очень важна, и мыиспользовали ее в теореме, названной фундаментальной теоремой арифметики.Давайте перейдем к пониманию важных особенностей составных чисел.
Свойствасоставных чисел:
Составноечисло-это положительное целое число, которое может быть образовано путемумножения двух меньших положительных целых чисел. Обратите внимание на свойствасоставного числа перечисленные ниже:
Всесоставные числа равномерно делятся на меньшие числа, которые могут бытьпростыми или составными.
Каждоесоставное число состоит из двух или более простых чисел.
Давайтепосмотрим на свойства составного числа 72, чтобы лучше понять это понятие.
Чтобынайти составное число, мы находим множители данного числа. Если число имеетболее двух факторов, то оно составное. Лучший способ вычислить составноечисло-это выполнить тест на делимость. Тест на делимость помогает намопределить, является ли число простым или составным. Делимость означает, чточисло делится равномерно (без остатка) на другое число.
Чтобысделать это, проверьте, может ли число быть разделено на эти общие факторы: 2,3, 5, 7, 11, и 13. Если заданное число четное, то начните проверку с числа 2.Если число заканчивается на 0 или 5, то проверьте его на 5. Если число не можетбыть разделено ни на одно из этих заданных чисел, то число является простымчислом. Например, 68 делится на 2, что означает, что у него есть факторы,отличные от 1 и 68, поэтому мы можем сказать, что 68 является составным числом.
Дваосновных типа составных чисел в математике-это нечетные составные числа ичетные составные числа. Давайте посмотрим на них по отдельности:
Нечетныесоставные числа. Все нечетные целые числа, которые не являютсяпростыми, являются нечетными составными числами. Например, 9, 15, 21, 25, 27это нечетные составные числа. Рассмотрим цифры 1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12 и 15.Здесь 9 и 15 являются нечетными композитами, потому что эти два числа имеют нечетныеделители и удовлетворяют составному условию.
Четныесоставные числа. Все четные числа, которые не являются простыми,являются четными составными числами. Например, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, естьдаже составные числа. Подумайте о цифрах 1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12 и снова 15.Здесь 4, 10 и 12 являются четными композитами, потому что они имеют четныеделители и удовлетворяют условию композита.
Наименьшеесоставное число. Составное число определяется как число, которое имеетделители, отличные от 1 и само число. Начинай считать: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ….Итак, 1 не является составным числом, потому что его единственным делителемявляется 1. 2 не является составным числом, потому что у него есть только дваделителя, т. е. 1 и само число 2. 3 не является составным числом, поскольку оноимеет только два делителя, т. е. 1 и само число 3. Давайте посмотрим на номер4. Его делители равны 1, 2 и 4. число 4 удовлетворяет критериям составногочисла. Итак, 4-это наименьшее составное число.
Пример1: Определите, является ли 486 составным числом или нет?
Решение:
Данноечисло равно 486. Его факторы или делители являются — 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54,81, 162, 243, и 486. Это показывает, что у него есть факторы, отличные от 1 исамого себя. Ответ: 486-это составное число.
Общимкратным натуральных чисел а и в называют число, которое кратнокаждому из данных чисел.
Наименьшеечисло из всех общих кратных чисел а и в называют наименьшим общимкратным этих чисел. По условию они обозначают К(а, в).
Например:
Наибольшимобщим делителем двух а и в или более натуральных чисел а, в, c, …называется наибольшее натуральное число, делящее каждое из данных чисел.
Например:(16, 20, 28)=4
Наименьшееобщее кратное двух а и в или более натуральных чисел а, в,с…называетсянаименьшим натуральным числом, которое делится на каждое из данных чисел.
Например:(2, 3, 4)=12, НОК (ab)=ab
Литература
1.ДжамбетовЭ.М…, Тарамова Х.С Д-40 Теория чисел в примерах и задачах. Учебное пособие.-Махачкала: АЛЕФ, 2018.- 66 с.
2.Рогановский,Н.М. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. Пособие: в 2 ч. / Н.М Рогановский, Е.Н. Рогановская. Могилев: УО «МГУ им. А.А. Кулешова», 2010.-Ч.1: Общие основы методики преподавания математики( общая методика). -312 с.:ил.
3.Федеральныйзакон «Об образовании в Российской Федерации». — Москва: Проспект, 2018. -192с.
