Рекомендации к решению задания. Пусть даны координаты вершин пирамиды АВСD: А(8; 6; 7); В(–2; 2; –1); С(–3; 4;–3) D(5; 8; 5)

Пусть даны координаты вершин пирамиды АВСD: А(8 . 6 . 7) . В(–2 . 2 . –1) . С(–3 . 4 .–3) D(5 . 8 . 5). Требуется:

1) записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов .

2) найти косинус угла между векторами

3) найти проекцию вектора на вектор .

4) найти площадь грани АВС .

5) найти объем пирамиды АВСD .

6) составить уравнение грани АВС.

 

Произвольный вектор представляется в системе орт формулой

, (1)

где а_х, а_у, а_z – координаты вектора .

Если заданы точки М(х ₁ . у ₁ . z ₁) и N(х ₂ . у ₂ . z ₂), то координаты вектора соответственно равны а_х = х ₂ – х ₁ . а_у = у ₂– у ₁ . а_z = z ₂– z ₁ и вектор имеет вид

. (2)

1. Применим формулу (2) для векторов , получим векторы: . . .

Если вектор задан координатами, то модуль этого вектора вычисляется по формуле

. (3)

Применяя выражение (3), получим:

.

.

.

2. Из формулы скалярного произведения вектора на вектор имеем:

. (4)

Применяя формулу (4) для векторов получим:

.

Проекция вектора на вектор есть , тогда

.

4. Площадь грани АВС будем вычислять по формуле – векторное произведение векторов.

Представленная информация была полезной? ДА 58.69% НЕТ 41.31% Проголосовало: 990

Найдем векторное произведение векторов

.

Определим модуль векторного произведения:

Тогда .

5. Объем пирамиды АВСD определим по формуле

. (5)

Найдем смешанное произведение

Тогда .

6. Чтобы получить уравнение грани АВС, нужно составить уравнение плоскости, проходящей через точки А, В, С. Это уравнение имеет вид

. (6)

Тогда . .

.

Разделим на 12 обе части уравнения, в результате уравнение грани будет иметь вид .

 

Задание 3

Задачи 41–60. Даны координаты вершин пирамиды АВСD. Требуется:

1) записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов .

2) найти косинус угла между векторами

3) найти проекцию вектора на вектор .

4) найти площадь грани АВС .

5) найти объем пирамиды АВСD .

6) составить уравнение грани АВС.

 

Номер задач	А	В	С	D
	(2 . 1 . 0)	(3 . –1 . 2)	(13 . 3 . 10)	(0 . 1 . 4)
	(0 . –2 . –1)	(2 . 4 . –2)	(3 . 2 . 0)	(–11 . 8 . 10)
	(5 . –1 . –4)	(9 . 3 . –6)	(7 . 10 .–14)	(5 . 1 . –3)
	(1 . –4 . 0)	(5 . 0 . –2)	(3 . 7 . –10)	(1 . –2 . 1)
	(–3 . –6 . 2)	(1 . –2 . 0)	(–1 . 5 . –8)	(–3 . –4 . 3)
	(4 . 8 . 1)	(0 . 4 . 3)	(2 . 15 . –7)	(0 . 6 . 4)
Номер задач	А	В	С	D
	(2 . 4 . –4)	(0 . 11 . –12)	(–2 . 0 . –2)	(–2 . 2 . –1)
	(3 . 3 . –3)	(7 . 7 . –5)	(3 . 5 . –2)	(5 . 14 . –13)
	(6 . 9 . –5)	(8 . 2 . 3)	(4 . –2 . 5)	(4 . 0 . 6)
	(–4 . –2 . 3)	(6 . 2 . 11)	(–5 . 0 . 1)	(3 . 4 . 9)
	(2 . –6 . 2)	(12 . –2 . 10)	(1 . –4 . 0)	(9 . 0 . 8)
	(–2 . –2 . –8)	(0 . –4 . –6)	(10 . 0 . 2)	(7 . 2 . 0)
	(1 . 0 . –8)	(11 . 4 . 0)	(0 . 2 . –10)	(8 . 6 . –2)
	(4 . –1 . 0)	(3 . 1 . –2)	(14 . 3 . 8)	(11 . 5 . 6)
	(2 . –3 . 1)	(6 . 1 . –1)	(4 . 8 . –9)	(2 . –1 . 2)
	(9 . 3 . –6)	(7 . 10 . –14)	(5 . –1 . –4)	(5 . 1 . –3)
	(–1 . –5 . 4)	(9 . –1 . 12)	(–2 . –3 . 2)	(6 . 1 . 10)
	(–4 . 5 . –5)	(7 . 7 . 5)	(–3 . 3 . –3)	(4 . 9 . 3)
	(3 . –3 . –2)	(13 . 1 . 6)	(2 . –1 . –4)	(10 . 3 . 4)
	(–7 . 1 . 1)	(–8 . 3 . –1)	(3 . 5 . 9)	(0 . 7 . 7)