Решение. Так как , то в данном случае электрон считается классической частицей

Так как , то в данном случае электрон считается классической частицей.

Тогда

отсюда импульс

Длина волны равна

Подставив числовые значения, получим:

Ответ:

Задача 2. Электрон начальной скоростью которого можно пренебречь, прошёл ускоряющую разность потенциалов 51 В и 510 кВ. Найти длину волны де Бройля для этих двух случаев.

Решение.

Длина волны де Бройля частицы определяется её импульсом согласно соотношению:

где – постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна её кинетическая энергия. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше её энергии покоя ) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).

В нерелятивистском случае:

где масса покоя электрона.

В релятивистском случае:

Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов определяется по формуле:

В первом случае и (),

поэтому

Во втором случае при ускоряющей разности потенциалов кинетическая энергия 510 кэВ, что почти совпадает с энергией покоя 512 кэВ. Поэтому необходимо воспользоваться релятивистской формулой:

Подставив числовые значения, получим:

Ответ:

Задача 3. Используя соотношение неопределенностей энергии и времени, определить естественную ширину спектральной линии излучения атома при переходе его из возбужденного состояния в основное. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии принять равным 10^-8 с, а длину волны излучения – равной 600 нм.

Решение.

При переходе атомов из возбужденного состояния в основное существует некоторый разброс (неопределенность) в энергии испускаемых фотонов. Это связано с тем, что энергия возбужденного состояния не является точно определенной, а имеет конечную ширину Г (см рис. 1).

Согласно соотношению неопределенностей энергии и времени, ширина Г энергетического уровня возбужденного состояния связана со средним временем жизни атомов в этом состоянии соотношением:

Рис.1

~

Тогда ширина энергетического уровня:

Вследствие конечной ширины уровня энергии возбужденного состояния энергия фотонов, испускаемых атомами, также имеет разброс, равный ширине энергетического уровня, т.е.

Поскольку энергия фотона связана с длиной волны: то разбросу энергии соответствует разброс длин волн :

, (знак минус опущен).

Конечный интервал длин волн естественная ширина спектральной линии.

Отсюда

Подставив числовые значения, получаем:

Ответ:

Задача 4. Средняя кинетическая энергия электрона в невозбужденном атоме водорода равна 13,6 эВ. Исходя из соотношения неопределенностей, оценить наименьшую неточность определения координаты электрона в атоме.

Решение.

Согласно соотношению неопределенностей неточность координаты частицы:

где величина неточности импульса неизвестна. Однако сам импульс (точнее его среднее квадратичное значение) легко найти, поскольку известна кинетическая энергия электрона.

Рассматривая электрон как нерелятивистскую частицу, запишем:

Сравним величины и . Поскольку импульс вектор, то вычисляем только модуль этого вектора, так как его направление неизвестно. Поэтому проекция импульса на ось х оказывается неопределенной: её величина лежит в интервале . Значит, неопределенность проекции импульса на ось х равна:

т.е. величина и одного порядка. Поэтому заменим величиной :

Подставив данные, получим, что м.

Следовательно, наименьшая допустимая соотношением неопределенностей неточность, с которой можно определить координату электрона в атоме водорода, есть величина порядка м. Полученный результат сравним с диаметром первой боровской орбиты ( м). Отсюда следует, что боровскую орбиту нельзя представить как траекторию, по которой движется электрон, так как он может оказаться в любом месте атома, находящегося в определенном состоянии.

Ответ: нельзя.

Задача 5. Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке разностью потенциалов 0,5 кВ. принимая, что неопределенность импульса электронов равна 0,1% его значения, определить неопределенность координаты электронов. Являются ли в данных условиях электроны квантовой или классической частицей?

Решение.

Согласно соотношению неопределенностей для координаты импульса: где — неопределенность координаты электрона . — неопределенность его импульса.

Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов, эВ, т.е. электрон при данных условиях является нерелятивистской частицей. Импульс электрона кг·м/с.

Согласно условию задачи, неопределенность импульса т.е. намного меньше Поэтому электроны при данных условиях являются классическими частицами.

Тогда искомая неопределенность координаты электрона:

Ответ:

Вопросы для самопроверки:

1. В чем суть и каковы результаты опытов Бибермана, Сушкина и Фабриканта с электронными пучками малой интенсивности?

2. Изложите суть и основные выводы мысленного эксперимента по рассеянию электронов на двух щелях.

3. Как понимать утверждение, что волны де Бройля имеют вероятностный характер?

4. Чему равны фазовая и групповая скорости фотона?

5. Физический принцип работы электронного и ионного микроскопов.

6.Что называется динамическими переменными?

7. Почему динамические переменные не могут быть приписаны микрообъектам?

8. Что такое неопределенность данной физической величины?

9. В каком случае и почему при условиях и можно говорить о движении частицы по определенной траектории?

10. Надо ли учитывать волновые свойства альфа-частицы, движущейся со скоростью 10⁷ м/с, если ее положение оценивается по ширине следа в камере Вильсона (10^-4м)?

Задачи для самостоятельного решения:

1. Определить длину волны де Бройля , характеризующую волновые свойства электрона, если его скорость равна 1 Мм/с. Сделать такой же подсчет для протона.

2. Найти длину волны де Бройля для электрона, движущегося по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии.

3. Сравнить длину волны де Бройля для электрона и шарика массой 0,1 г, имеющих одинаковые скорости.

4. Вычислить и сравнить длины волн де Бройля для электрона и протона, прошедших ускоряющую разность потенциалов в 1000В.

5. Вычислить длину волны де Бройля для электрона, движущегося по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии.

6. Вычислить длину волны де Бройля для протона с кинетической энергией 100 эВ.

7. Электрон движется по окружности радиусом 0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией 8 мТл. Определить длину волны де Бройля для электрона.

8. Какую энергию необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от 0,1 нм до 0,05 нм?

9. Вычислить дебройлевские длины волн электрона, протона и атома урана, имеющих одинаковую кинетическую энергию 100эВ.

10. Вычислить длину волны де Бройля для электрона в кинескопе, ускоряющая разность потенциалов которого 10кВ. надо ли учитывать волновые свойства электрона, если диаметр электронного пучка 1 мм.

11. Вычислить длину волны де Бройля для пучка электронов в электронном микроскопе, ускоряющая разность потенциалов которого 1 кВ. Проявляются ли волновые свойства электронов, если объект бактерии, размер которых порядка 1 мкм?

12. Надо ли учитывать волновые свойства электронов в атоме водорода? Потенциал ионизации атома водорода 13,6 В, а размер атома порядка 0,53 10^-10м.

13. Пучок альфа-частиц диаметром 1 см прошёл разность потенциалов 100В. надо ли учитывать волновые свойства альфа-частиц при распространении этого пучка?

14. Вычислить длину волны де Бройля для пучка протонов, имеющих скорость 10³м/с. Надо ли учитывать волновые свойства, если диаметр пучка 1 мм?

15. Кинетическая энергия электрона равна 1 кэВ. Определить длину волны де Бройля.

16. Определить длину волны де Бройля для электрона, находящегося в атоме водорода на третьей боровской орбите.

17. Волновой «пакет» образован двумя плоскими монохроматическими волнами:

Определить фазовые скорости и каждой волны и групповую скорость волнового «пакета».

18. Известно, что фазовая скорость Найти выражения фазовой скорости волн де Бройля в нерелятивистском и релятивистском случаях.

19. Фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме (в релятивистском случае). Не противоречит ли это постулатам теории относительности?

20. Написать закон дисперсии, т.е. формулу, выражающую зависимость фазовой скорости от длины волны) волн де Бройля в нерелятивистском и релятивистском случаях.

21. Будут ли расплываться в вакууме волновые пакеты, образованные из волн де Бройля?

22. Свободная частица движется со скоростью . Доказать, что выполняется соотношение

23. Определить неточность в определении координаты электрона, движущегося в атоме водорода со скоростью 1,5·10⁶ м/с, если допускаемая неточность в определении скорости составляет 10% от ее величины. Сравнить полученную неточность с диаметром атома водорода, вычисленным по теории Бора для основного состояния, и указать, применимо ли понятие траектории в данном случае.

24. Пользуясь соотношением неопределенностей оценить неопределенность в определении скорости электрона атома водорода. Сравнить эту неопределенность с величиной скорости электрона на первой боровской орбите. Указать, применимо ли в данном случае понятие траектории.

25. Электрон с кинетической энергией 15 эВ находится в металлической пылинке диаметром 1 мкм. Оценить относительную неточность , с которой может быть определена скорость электрона.

26. Во сколько раз дебройлевская длина волны частицы меньше неопределенности ее координаты, которая соответствует относительной неопределенности импульса в 1%?

27. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей оценить минимальные линейные размеры атома.

28. Если допустить, что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны, то какова будет относительная неопределенность импульса этой частицы?

29. Используя соотношение неопределенностей найти выражение, позволяющее оценить минимальную энергию электрона, находящегося в одномерном потенциальном ящике шириной

30. Показать, используя соотношение неопределенностей, что в ядре не могут находиться электроны. Линейные размеры ядра принять равными 5 фм.

31. Диаметр пузырька с жидкостно-водородной пузырьковой камере составляет величину порядка 0,1 мкм. Оценить неопределенность в определении скорости электрона и альфа-частицы, если неопределенность в определении координаты равна диаметру пузырька.

32. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию электрона, движущегося внутри сферической области диаметром 10 нм.

33. Оценить с помощью соотношения неопределенностей кинетическую энергию протона в моноэнергетическом пучке, используемом для исследования структуры с линейными размерами 10^-10м.

34. Электрон движется со скоростью 10⁶м/с. допустим, что мы можем измерить его положение с точностью до 10^-12м. сравнить неопределенность импульса электрона с самим значением его импульса.

35. Теннисный мяч массой 200 г движется со скоростью 30 м/с. Если мы можем определить положение мяча с ошибкой, соизмеримой с длиной волны света, используемого при наблюдении (например, 500 нм), то, как соотносится неопределенность в установлении его импульса с самим импульсом мяча?

36. Оценить неопределенность импульса протона в ядре. Размер ядра 10^-15м.

37. Определить отношение неопределенностей скорости электрона, если его координата установлена с точностью до 10 м, и пылинки массой 10 кг, если её координата установлена с такой же точностью.

38. Электрон движется в атоме водорода по первой боровской орбите. Принимая, что допускаемая неопределенность скорости составляет 10% от её значения, определить неопределенность координаты электрона. Применимо ли в данном случае для электрона понятие траектории?

39. Пылинки массой 10^-12 г взвешены в воздухе и находятся в тепловом равновесии. Можно ли установить, наблюдая за движением пылинок, отклонение от законов классической механики? Принять, что воздух находится при нормальных условиях, пылинки имеют сферическую форму. Плотность вещества, из которого состоят пылинки, равна 2·10³ кг/м³.

40. В потенциальном бесконечно глубоком одномерном ящике энергия электрона точно определена. Значит, точно определено и значение квадрата импульса электрона (). С другой стороны, электрон заперт в ограниченной области с линейными размерами Не противоречит ли это соотношению неопределенностей?

41. Какой смысл вкладывается в соотношение неопределенностей