Тема 2. Переходные процессы в RC-цепях

2-1. Процессы, протекающие в простейшей RC-цепи.

Переходный процесс обусловлен тем, что энергия электромагнитных полей, связанных с цепью при различных установившихся режимах различна, а скачкообразное изменение энергии, т.е. изменение энергии на конечную величину за бесконечно малый промежуток времени, невозможно из-за ограниченности величины мощности физически существующих источников энергии.

Линейным устройством (элементом) называется устройство (элемент), параметры которого не зависят от протекающего тока или приложенного напряжения. Нелинейное устройство — это устройство, параметры которого зависят от тока или напряжения.

Переходные процессы в простейших линейных цепях, т.е. в цепях RL или RC описываются дифференциальным уравнением первого порядка:

,

где x (t) — напряжение или ток в схеме, y (t) — внешнее воздействие.

Решение этого уравнения для случая y (t) = const имеет вид:

,

где t — текущее время, x (t) — напряжение или ток в схеме, x (¥) — конечное значение x (t) при t ®¥, x (0) — начальное значение x (t) при t = 0.

Характер изменения функции x (t) представлен на рис. 2.1 (убывающая или нарастающая экспонента).

Рис. 2.1. Характер изменения экспоненциальной функции.

Выполним следующие преобразования:

,

.

Поскольку , то очевидно, что AB = t.

При анализе переходных процессов часто возникает задача нахождения интервала времени , за который функция x (t) изменяется от значения x (t ₁) до значения x (t ₂). Запишем значение функции в точках t ₁ и t ₂:

,

.

Откуда

,

,

,

,

.

Применим полученные соотношения для анализа RC-цепей. Предварительно напомним законы коммутации для RL и RC-цепей:

1-ый закон коммутации: напряжение на конденсаторе в момент коммутации не может измениться скачком U_С (0_—) = U_С (0₊) .

2-ой закон коммутации: ток, протекающий через индуктивность, не может измениться скачком I_L (0_—) = I_L (0₊).

Законы коммутации являются следствием того, что энергия в цепи не может изменяться мгновенно, так как для этого требуется бесконечно большая мощность источников энергии. Рассмотрим RC-цепь (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Схема простейшей RC-цепи.

Пусть конденсатор не заряжен и в момент времени t = 0 ключ переходит из положения «0» в положение «1». Для начальных и установившихся режимов в этом случае можно записать:

при t = 0 U_С (0) = 0, U_R (0) = E .

при t = ¥ U_С (¥) = E, U_R (¥) = 0.

После подстановки получаем:

,

.

Считая, что конденсатор заряжен до значения U_С = E, рассмотрим процесс после перевода ключа из положения «1» в положение «2». Начальные и установившиеся значения напряжений на элементах в этом случае запишутся:

при t = 0 U_С (0) = E, U_R (0) = -E .

при t = ¥ U_С (¥) = 0, U_R (¥) = 0.

После подстановки получаем:

,

.

Характер изменения функций U_C (t) и U_R (t) представлен на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Характер изменения функций U_С (t) и U_R (t) простейшей RC-цепи.

Из курса математики известно, что за утроенное значение постоянной времени, т.е. за время 3 t, экспонента изменяется на 0.95 своего конечного полного изменения. Это значит, что за время 3 t конденсатор условно разряжается и заряжается.

2-2. Интегрирующая RC-цепь.

Электрическая принципиальная схема интегрирующей RC-цепи представлена на рис. 2.4(а). Коммутация напряжения на входе, рассмотренная ранее, эквивалентна подаче на вход прямоугольного импульса напряжения (рис. 2.4(б)). Как было выведено ранее, характер изменения функции U_C (t)= U_вых в общем случае выражается следующими зависимостями:

— нарастающая экспонента для 0 £ t £ t_и .

— убывающая экспонента для t &gt . t_и, где — значение напряжения, до которого успел зарядиться конденсатор в период действия импульса.

Рис. 2.4. Интегрирующая RC-цепь и временные диаграммы напряжений.

Разряд конденсатора после прекращения действия импульса приводит к тому, что выходной импульс будет иметь большую продолжительность, чем входной. Происходит расширение импульса без сохранения его формы, поэтому такая RC-цепь называется расширяющей.

Поскольку , а , то

.

Так как , то

.

Рассмотрим случай, когда . Поскольку , следовательно , и можно записать:

,

то есть на выходе интеграл от входного напряжения. Отсюда очевидно название рассмотренной цепи – интегрирующая. Эта цепь используется, в частности, для получения линейно изменяющегося напряжения. Для этого на вход интегрирующей цепи подается постоянное напряжение . Тогда получаем

,

то есть на выходе линейно изменяющееся напряжение (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Графики изменения идеального и реального выходных напряжений интегрирующей RC-цепи.

В отличие от рассмотренного идеального случая, в реальной цепи

.

Найдем производную по t от функции идеального выходного напряжения:

.

Аналогично для функции реального выходного напряжения производная запишется:

.

При t =0 ,

т.е. в нуле производные реальной и идеальной функций совпадают, а в дальнейшем — расходятся. За меру расхождения на интервале [0, t_и ] принимают коэффициент нелинейности — относительное изменение производной:

.

Для случая можно воспользоваться формулой разложения функции : при . Тогда

,

т.е. чем больше t при данном значении t_и, тем меньше ß. Реальная функция U_вых.р в этом случае ближе к идеальной U_вых.ид.

2-3. Разделительная дифференцирующая RC-цепь.

Электрическая принципиальная схема разделительной дифференцирующей RC-цепи и её временные диаграммы представлены на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Разделительная дифференцирующая RC-цепь и временные диаграммы напряжений.

Как было показано ранее, меняется по закону:

для 0 £ t £ t_и,

для t &gt . t_и.

При рассматриваемая RC-цепь выполняет функции разделительной цепи, назначение которой передать входное напряжение с наименьшими искажениями и отделить при этом постоянную составляющую. Абсолютная величина завала вершины равна напряжению на конденсаторе в момент t_и снятия входного импульса, т.е.

.

Для случая , с учетом рассмотренного ранее разложения функции при получаем:

.

Оценкой качества разделительной цепи является величина относительного завала вершины g, которая определяется как:

.

Таким образом, завал вершины, а значит искажение входного импульса, тем меньше, чем больше постоянная времени цепи t при данном t_и. Если величина завала вершины несравненно мала, то импульс передается без искажения.

Рис. 2.7. Диаграммы входного и выходного напряжений разделительной цепи.

Из временной диаграммы рис. 2.7 видно, что амплитуда последовательности импульсов выходного напряжения постоянна, но при этом импульсы смещаются относительно нулевого уровня. В установившемся режиме площади под графиком S ₊ положительной и S _— отрицательной областей последовательности импульсов окажутся равными друг другу: S ₊ = S _—.

Доказать этот факт можно, рассмотрев диаграмму тока, протекающего через резистор (рис.2.8). Очевидно, что i ₁t ₁ — это заряд Q_и, переносимый через емкость за время действия импульса на входе, а i ₂(t ₂— t ₁) – заряд Q_п, переносимый через емкость за время паузы между импульсами, т.е. в обратном направлении. Тогда общий заряд, переносимый через емкость за время, равное периоду импульса будет равен:

.

Поскольку постоянная составляющая через емкость не проходит , следовательно, или . Поскольку , а сопротивление – величина постоянная, то значит и равны S ₊ и S _— на диаграмме U_вых. Таким образом, для разделительной цепи необходимо выполнение условия: .

Рис. 2.8. Диаграмма тока, протекающего через резистор разделительной RC-цепи.

Поскольку , а , то

Продифференцируем обе части полученного уравнения. Получим

Так как , то .

Рассмотрим случай . Поскольку , то можно записать . Тогда

.

Из полученной формулы следует название такой цепи – дифференцирующая. Для дифференцирующей цепи должно выполняться условие , т.е. конденсатор должен успевать быстро перезаряжаться при данном t_и. Диаграммы входного и выходного напряжений дифференцирующей цепи для последовательности импульсов представлены на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Диаграммы входного и выходного напряжений дифференцирующей RC-цепи.