Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий 
и 
равна сумме вероятностей этих событий без учета вероятности произведения этих событий: 
.
Если события 
и 
несовместны, то 
— невозможное событие. Тогда 
, и мы получаем формулу 
.
Пример 8. Определим вероятность выпадения хотя бы одной единицы при двух бросаниях кубика.
Событие 
— при 1-м бросании выпало число 1, событие 
— при 2-м бросании выпало число 1. тогда событие 
— «хотя бы один раз выпало число 1».
= 1/6 + 1/6 – 1/36 =11/36.
Пример 9. Вероятности своевременного выполнения задания двумя работниками фирмы соответственно равны 0,8 и 0,7. Работники получили независимо друг от друга задание.
Найти вероятности событий:
1) только один работник выполнит задание в срок .
2) хотя бы один работник выполнил задание в срок.
Решение
Введем события: 
— первый работник выполнил задание в срок, 
— второй работник выполнил задание в срок.
По условию, их вероятности 
. 
.
1) Событие 
– «Только один работник выполнил задание в срок», тогда 
. Слагаемые 
и 
несовместны, поэтому по теореме сложения вероятностей двух несовместных событий имеем
|
|
|
.
2) Существует несколько способов нахождения вероятности события 
– «Выполнил задание в срок хотя бы один работник».
Первый способ связан с применением теоремы сложения вероятностей совместных событий. Так как события 
и 
совместны, то 
.
Во втором способе дается полное представление о структуре события 
. Событие 
представим в виде суммы событий: 
.
Сумма первых двух слагаемых 
соответствует событию 
«Только один работник выполнил задание в срок», слагаемое 
– событию «Оба работника выполнили задание в срок». Тогда вероятность события 
– «Хотя бы один работник выполнил задание в срок» равна
Третий способ заключается в использовании противоположного события. Рассмотрим противоположные события: 
– «Хотя бы один работник выполнил задание в срок» и 
— «Оба работника не выполнили задание в срок», или 
. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице 
, отсюда
.
Как видно, все три способа вычисления вероятности события 
дали один и тот же результат.
