Задачи с параметрами: трудности и способы их преодоления.

         Задачи с параметрами: трудности испособы их преодоления.

                                                                                                              Алейникова Т.В.

      В связи с введением обязательного ЕГЭ по математике и отменой отдельныхвступительных экзаменов в ВУЗы существенно изменилась стратегия подготовкивыпускников к экзамену по предмету. Но подготовка учащихся к сдаче профильногоэкзамена по математике не предполагает натаскивания на отдельные группы и типызаданий, а требует научить выпускника мыслить в нестандартных ситуациях сопорой на глубокие знания предмета.

  Если обратиться к задачам с параметром, то для того, чтобы ученик могосмысленно выполнить все этапы решения, необходимо не только глубокое пониманиетемы , но и немалый опыт решения таких задач. Поэтому знакомство с такимизадачами должно состояться не в 9,10,11 классах, а намного раньше, когда опараметре, как таковом , вообще речи не ведется – в 5, 6 и 7классах. Работа сзадачами на исследование ситуаций, анализ вариаций, подбор значений попоставленному условию – всё это приучает школьников к «многоразовости» задачи,к умению выделить «пограничные» ситуации, что, впоследствии, мы и применяем прирешении задач с параметрами.

Итак,вычленим основные проблемы, возникающие у учащихся при решении задач спараметрами.

1.     Трудноклассифицировать задачу, отнести к какому-либо типу;

-действительно, задачи исключительно разнообразны по материалу (тригонометрия,логарифмы, КВУР, показательные, иррациональные уравнения, неравенства и прочее)или по методам решения(графические или аналитические).

2. Трудность в понимании того, что такое параметр, что это – число, и какая букваили буквы в условии являются параметром, а какие – нет.

-обычно это проблема учащихся в младших классах или учащихся, никогда ранее невстречавшихся с такой задачей

3.Трудность в построении алгоритма решения (слишком много типов задач) ипонимании вопроса задачи: решать для всех значений параметра или для каких-тоотдельных.

4.Трудность в отборе «пограничных»  значений параметра, то есть в умении найти взадаче ситуацию, качественно отличающуюся от других.

-действительно, часто при решении задачи графическим методом необходимовычленить эти «особые» случаи: графики имеют единственную общуюточку(пересечение прямых или касание прямой и кривой), или бесконечноемножество точек(совпадение участков).

5.Трудность в построении графиков уравнений: с модулем, с параметром, в пониманиитого что такое «пучок прямых», «семейство прямых», «распухающая окружность»,окружность с подвижным  центром, или график квадратичной функции  или модуля,вершина которых движется по некоторой прямой, заданной параметрами.

  Все эти проблемы, несомненно, ставят задачу с параметром (на ЕГЭ — № 18) вразряд особенно трудных, и без приобретения огромного опыта и знаний по этомувопросу, ученикам очень сложно браться за её решение.

 Как же постараться сузить эти проблемы и помочь учащимся освоить такие задачи,пусть не всякие, но большинство?  Конечно, это пропедевтика очень многихпростейших понятий, связанных с функцией, уравнениями, преобразованиямивыражений. Огромная работа, которую надо начинать с 5-6 классов. Тем самым, кконцу 9, а затем уже 11 класса, учащиеся приобретут драгоценный опыт ипонимание таких задач.  Разберемся в каждой проблеме.

1.    Классификация задачи:учимся определять по какой теме задача, её тип(аналитическая или графическая).Для этого обращаемся к главному вопросу: решить для всех значений параметра,или задача с определенным условием (корни одного знака) или найти конкретное количестворешений, не находя сами решения.( в последнее время наиболее часто встречается)

Например:

1). При каких значенияхпараметра k один из корней уравнения

(k² + k + 1)x² + (2k– 3)x + k – 5 = 0 больше1, а другой меньше 1?(задача условная, надо рассмотреть только случаи, удовлетворяющиеданному условию)

2).   В зависимости от значений параметра aрешить уравнение

   (a² – 1)x = 2a² +a – 3. (Задача общего типа,  надо рассмотреть все возможные случаи.  Дляэтого применяем метод «контрольных значений», т.е. тех значенийпараметра, при которых качественно изменяется вся задача.

Рекомендации понахождению КЗ:

— для всех видовуравнений: КЗ «нулевого типа» (КЗ0)- значение параметра, обращающее в нольстарший коэффициент уравнения или неравенства.

x(1 – a) = –2.   КЗ0:а= 1

(p + 2)x² – 2(p + 3)x + p+ 5 = 0.  КЗ0: р = — 2

у = ах — 3,  КЗ0: а = 0

 

— для КВУР: обращение вноль дискриминанта;

— для дробно-рациональногоуравнения: обращение в ноль знаменателя уравнения;

— для иррациональныхуравнений(неравенств): «концевое» значение области существования корня;

— для логарифмов:«концевое» значение области существования логарифма;

— прочие задачи, в которых присутствуютограничения на область допустимых значений.

3).  Найдите все значения параметра a, прикаждом из которых уравнение   имеет ровно три корня? (Графическаязадача, т.к.  нужно найти только количество корней, и в уравнении очевидныфункции, графики которых реально построить).

2.  Понимание, что параметр – этодействительное число. Думаю, чтобы решить эту проблему, надо приучатьучащихся к «параметрической» терминологии, начиная с 5 класса, где дети впервыевстречают понятие «линейное уравнение» и исследуют его на существование корнейв зависимости от коэффициентов (0·х = 0, 0·х = 2, 5·х = 2,

 а · х = 2). Потом такой список знанийможно расширять, показывая, что целую группу однотипных математических задач мыможем записывать, используя букву, которая заменяет повторяющееся число.

3. Построение алгоритма решения задачи.Здесь мы можем только рекомендовать учащимся, с чего начать рассмотрение задачи(понимание вопроса), какие значения предварительно отделить (КЗ) или какиеграфики построить (отделить параметр от известной функции, если возможно),какие значения параметра отбирать, исходя из условия задачи.

4. Отбор«пограничных»  значений параметра. Эту проблему решаем опять же спомощью контрольных значений и учим пониманию графических «обстоятельств» приизображении графиков уравнений.

Пример: Найти все значения параметра а,при которых графики функций имеют не менее 2-х общих точек.

« Пограничныеположения» одной их прямых «пучка» — это принадлежность ей точки В(4;0) икасание с частью графика, левее прямой х = 4(парабола у = —  х² +4х)

 

 

 

 

 

5.Построении графиков уравнений (неравенств), графиков функций. Всегоды изучения алгебры и начал математического анализа мы занимаемся вопросами построенияграфиков, постепенно усложняя функции, уравнения и преобразования. Ученик 11класса должен владеть всеми этими методами на высоком уровне, т.к. это залогрешения задачи с параметром графическим способом. В активе учащихся должны бытьметоды построения графиков с помощью преобразований  в системе координат,графиков функций с модулем, графиков линейных уравнений. Уметь преобразовыватьуравнение окружности, получать совокупность уравнений и понимать, чтопредставляет её график. Это материал, изучаемый, в большей степени, впрофильных классах, но доступный и ученикам общеобразовательного профиля,интересующимся математикой.

Пример:3). При каком значении параметра а система имеет единственное решение?

 

(1)при у ≠2,  = у – 2, у = а(х – 6),«пучок» прямых ℓ с центром в точке А(6: 0).

(2) — 7у –ху + 5х + 10 = 0; (либо КВУР относительно у, либо РМ спомощью группировки)(7у = 5у + 2 у)

− 5) – х(у – 5) – 2(у – 5) = 0;

 5)(у – х -2) = 0;      график уравнения (2) – совокупность двух прямых.

(3)

1 случай: ℓǁМД,

а = 1, нет общих точек, не уд. усл.

2 случай: ℓǁВС,

а = 0,1 общая точка, уд.усл.

3 случай: F ϵ ℓ,

5 = а(3 – 6), а = -5/3,

1 общая точка, уд.усл.

4 случай: (0;2) ϵ ℓ,

2 = а(0 -6), а = — 1/3,

1 общая точка, уд.усл.

 

Ответ: а = -5/3, а = — 1/3, 0

 

 

Дляпреодоления всех проблем требуется ежедневная кропотливая работа учителя  сучащимися по овладению общими знаниями математики в совершенстве. Только тогдазадача № 18 на ЕГЭ не будет казаться такой «пугающей и трудной»!

 

Литература:

1.    Крамор В.С. Задачи с параметрами и методыих решения /В.С. Крамор. – М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мири образование», 2002

2.    Решение всех экзаменационных задач поалгебре и началам анализа за 11-й класс. Курсы «А», «В», «С», «Д»:Учебно-практическое пособие к «Сборнику задач по алгебре и началам анализа дляпроведения итоговой аттестации за курс средней школы»/ под. Ред. С.А.Шестакова. – М.: издательство «Экзамен»,2003

3.    Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 11класс. Задачник для общеобразовательных учреждений(профильный уровень)/ А.Г.Мордкович и др., под ред. А.Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009

4.    Горштейн П.И. Задачи с парметром. 3-еиздание, дополненное и переработанное/П.И. Горштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир– М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2002

5.    Иванов С.О. Математика. Учися решатьзадачи с параметрами. Подготовка к ЕГЭ: задание С5/ С.О. Иванов, Е.А. Войта идр.,  под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю. Калабухова –Ростов н/Д: Легион-М, 2011