1) lim f(x)sinx/x =1(при х→0) – первый замечательный предел.
Док-во. Т.к. ф-я y= sinx – четная, то достаточно показать, что предел при х→0 справа равен 1.
T
M
tgx
x
K A
O
MK= sinx Видно, что sinx< .x< .tgx,
1< .x/ sinx< .1/cosx
1> .sinx/x> .cosx
при х→0 справа имеем lim cosx=1, lim 1=1. Значит получили требуемое равенство.
2) lim (1+1/x)x=e(х→+ (-)∞) – второй замечательный предел.
Док-во.
Докажем
1)при +∞. Пусть х – любое число. Найдем такое целое n, чтобы выполнялось нер-во:
n ≤ x< . n+1 (1)
Будем считать, что х> .1,n> .0. Сделав необходимые преобразования, получим: 1+1/ n ≥ 1+1/x> . 1+1/(n+1)
Зная условие (1), можем получить: (1+1/ n)n+1≥ (1+1/x)x> . (1+1/(n+1))nили f(x) ≥(1+1/x)x> .g(x). При х→+∞,n →+∞, f(x) и g(x)→е. По св- ву предела ф-и lim (1+1/x)x→е(при х→+∞), что и т.д.
2) при -∞. Пу сть х=-t, где t> .0.
(1+1/x)x=(1-1/t)-t=((t-1)/t)—t=(t/(t-1))t=(1+1/(t-1))t=(1+1/(t-1))t-1 (1+1/(t-1))x Выражение в правой части →е*1=е при х→-∞, т.е. t →+∞, что и т.д.
